Einbettungen von endlichen Gruppen in symmetrische Gruppen

Question

Sei n eine natürliche Zahl und G = (G, ∗, e) eine Gruppe mit genau n Elementen.

Wir wählen eine Bijektion von Mengen α: {1, 2, . . . , n} → G und setzen für jedes g ∈ G

σ_g : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n},      i→ α⁻¹ (g ∗ α(i)).

Zeigen Sie:

a) Es gilt σ_g ∈ S_n.

b) Die Abbildung G → S_n,  g→ σ_g, ist ein injektiver Gruppenhomomorphismus

Answer 1

Zu (a):

Es muss gezeigt werden, dass für beliebiges \(g\in G\)  die Abbildung \(\sigma_g\)

eine Umkehrabbildung besitzt. Man berechnet

\(\sigma_{g^{-1}}(\sigma_g(i))=\sigma_{g^{-1}}(\alpha^{-1}(g*\alpha(i)))=\)

\(\alpha^{-1 }(g^{-1}*\alpha(\alpha^{-1}(g*\alpha(i))))=\alpha^{-1}(g^{-1}*g*\alpha(i))=\)

\(\alpha^{-1}(e*\alpha(i))=\alpha^{-1}(\alpha(i))=i\)

für alle \(i=1,\cdots,n\). Analog zeigt man \(\sigma_g\circ\sigma_{g^{-1}}=id_{\{1,\cdots,n\}}\)

Zu (b):

Ich zeige

1. \(\sigma: \; G\rightarrow S_n,\;g\mapsto \sigma_g\) ist ein Gruppenhomomorphismus und

2. Der Kern von \(\sigma\) besteht nur aus dem neutralen Element \(e\in G\).

1.: Man berechnet

\(\sigma_g\circ \sigma_h)(i)=\sigma_g(\alpha^{-1}(h*\alpha(i)))=\)

\(=\alpha^{-1}(g*\alpha(\alpha^{-1}(h*\alpha(i))))=\alpha^{-1}(g*h*\alpha(i))=\)

\(=\sigma_{g*h}(i)\) für jedes \(i\) mit \(1 \leq i \leq n \).

2. Sei \(g \in Kern(\sigma)\). Dann gilt:

\(\sigma_g=e\), d.h. \(\sigma_g(i)=\alpha^{-1}(g*\alpha(i))=i\),

also \(g*\alpha(i)=\alpha(i)\) für jedes \(i\) und da \(\alpha\) surjektiv ist:

\(g*h=h\) für alle \(h\in G\), also \(g=e\).