Question

Beweisen Sie, dass die Folge an = (-5n³ +1)/(4n² -1) bestimmt divergent ist.

Answer 1

ass die Folge an = (-5n³ +1)/(4n² -1) bestimmt divergent ist.

durch n^2 kürzen gibt

(-5n + (1/n^2) ) / ( 4  -  (1/n^2) )
für n gegen unendlich geht der Zähler(wegen -5n ) gegen - unendlich und der Nenner gegen 4
also GW -unendlich.

Comments

das habe ich ja auch gemacht, aber grenzwertsaetze darf man benutzen nur wenn alle teile der folge konvergieren oder? und -5n konvergiert nicht..

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-5n konvergiert gegen -unendlich also divergiert, aber konvergiert nicht gegen eine zahl.

Answer 2

Offenbar gilt \(1< n^3+n\) und \(4n^2>1\) für alle \(n\in\mathbb N\). Es folgt$$-5n^3+1<-4n^3+n=-n\cdot(4n^2-1).$$Daraus folgt$$a_n=\frac{-5n^3+1}{4n^2-1}<-n.$$Die Folge divergiert also bestimmt gegen \(-\infty\).