ableitung, definitionsbereich und extremstellen von f(x)=sqrt(tan(x)+1)

Question

hallo zusammen

gegeben ist die Funktion f(x)= sqrt(tan(x)+1), x aus [-pi/4 , pi/4 ]

1. Bestimme die erste Ableitung von f und gebe den maximalen Definitionsbereich an.

2. Begründe, warum f im Intervall [-pi/4, pi/4] globales Maximum und Minimum annimmt und gebe die Extremstellen an.

Hinweis: tan(pi/4) = 1

ich benötige hilfe bei der Ableitung. ich weiß ich muss die kettenregel anwenden. es kommt trotzdem was falsches bei mir raus.

danke schon mal im voraus ^^

Answer 1

wurzel(1+tan)
f ' (x) = (1 + tan(x) ) ^-0,5 * (1+tan²(x))   also Definitionsbereich problematisch nur für 1+tan(x) = 0,
                     also ] -pi/4 ; pi/4 ]
b) Ableitung im Inneren des Def-breiches von f positiv, also f streng monoton auf D
also abs. Min bei -pi/4 und abs Max bei pi/4

Comments

man muss für die Ableitung die kettenregel anwenden.

ist dann nicht f´(x)= 0,5*(tan(x)+1)^-0,5*( 1+ tan^2(x)) oder ist meins falsch?

Answer 2

gegeben ist die Funktion f(x)= sqrt(tan(x)+1), x aus [-pi/4 , pi/4 ]

1. Bestimme die erste Ableitung von f und gebe den
maximalen Definitionsbereich an.

Vorbemerkungen
( √ term ) ´ = ( term ´ ) / ( 2 * √ term )
( tan ( x ) ) ´ = 1 + ( tan ( x ) )^2

f ( x ) = √ [ tan ( x ) + 1 ]
( tan ( x ) + 1 ) ´ = ( tan ( x ) )^2 + 1
( f ( x ) ) ´ = [ ( tan ( x ) )^2 + 1 ] / [  2 * √ ( tan ( x ) + 1 ) ]

Def-Bereich
( wegen Wurzel )
tan ( x ) + 1 ≥ 0
tan ( x ) ≥ -1
Hinweis: tan(pi/4) = 1 , dann wird wohl
tan ( - pi/4 ) = -1 sein.
Das Intervall [ -pi/4 ; pi/4 ] dürfte der Def-Bereich sein.

2. Begründe, warum f im Intervall [-pi/4, pi/4] globales Maximum
und Minimum annimmt und gebe die Extremstellen an.

Extremstellen :
( f ( x ) ) ´ = [ ( tan ( x ) )^2 + 1 ] / [  2 * √ ( tan ( x ) + 1 ) ]

Ein Bruch ist dann 0 wenn der Zähler 0 ist
( tan ( x ) )^2 + 1 = 0
( tan ( x ) )^2 = -1
keine Lösung. Keine Extremstellen.

Monotonie :
Zähler und Nenner sind stets positiv.
Die Funktion ist monoton steigend
Um Minimum und Maximum zu bestimmen muß
f ( -pi/4 ) und  f ( pi/4)  berechnet werden.
( Randminimum bzw- maximum )

mfg Georg