Integralrechnung - Volumenberechnung: Integrationsgrenzen bei Rotationskörper

Question

Hallo - ich muss mithilfe der Integralrechnung eine Volumenberechnung durchführen. Folgendes ist gegeben:

"Berechne das eingeschlossene Volumen der Funktionen f(x)= 4x^2 und g(x)=5-x^2 bei Rotation um die x-Achse."

Rauskommen soll 37,3 *Pi.  Mir ist klar, welche Formel ich verwenden muss - ich weiß nur nicht, was ich einsetzen soll, denn bei allen bisherigen Beispielen war ein Intervall, Bsp: (-2,4) gegeben - hier aber nicht. Stammfunktionen etc. ist kein Problem, geht nur ums Einsetzen! Ich hoffe, die Frage ist nicht allzu blöd ;) und auf baldige Antworten! :)

Answer 1

Ich denke es ist die Fläche zwischen den Graphen gemeint, wenn diese um die x-Achse rotiert.

∫ _{-1 bis 1} (pi·(5 - x^2)^2 - pi·(4·x^2)^2) dx

= ∫ _{-1 bis 1} (- 15·pi·x^4 - 10·pi·x^2 + 25·pi) dx

= [- 3·pi·x^5 - 10/3·pi·x^3 + 25·pi·x] _{-1 bis 1}

= 112/3·pi 

Hier noch eine Skizze, damit du es dir vorstellen kannst:

 

Comments

Löscht Du bitte meine Antwort? Die war Mist. Ich kann das leider nicht machen.

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Ich kann das auch nicht machen :(

Aber die war auch nicht Mist. Man kann ja auch das Intervall von 0 bis 1 nehmen und das Rotationsintegral dann verdoppeln.

Answer 2

Du muss eigentlich nur die Schnittpunkte der Parabeln berechnen ( f(x) = g(x) --> SP(1 | 4) ). Dann nimmst Du den Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert. Dein Intervall geht also von 0 ≤ x ≤ 1.

Der Rest ist Dir ja bekannt wie Du schreibst.