Beweisen Sie, für jedes m in ℕ gilt lim ((exp(x)/x^m) = 0 für x gegen unenedlich.

Question

Beweisen Sie, für jedes m ∈ ℕ gilt

$$\underset { x\rightarrow \infty  }{ lim } \quad \frac { exp(x) }{ { x }^{ m } } \quad =\quad \infty$$

Dabei darf ich diese Definition verwenden:

(a) Sei (x_n)_n≥1 eine Folge in ℝ. Man schreibt lim n→∞ x_n = ∞, falls ∀ c ∈ ℝ ∃ N ∈ℕ: ∀ n ≥ N gilt x_n ≥ c

Man schreibt lim n → ∞ x_n = - ∞, falls ∀c ∈ ℝ ∃ N∈ℕ : ∀ n ≥ N gilt x_n ≤ c

(b) Sei D⊂ ℝ nach oben unbeschränkt und sei f: D → ℝ eine Funktion. Für a ∈ ℝ oder a= +- ∞ schreiben

wir lim x→∞ f(x) =a, falls für jede Folge (x_n)_n≥1 ∈ D mit lim n→∞ x_n = ∞ gilt lim n→∞ f(x_n) = a

Vielen Dank für die Hilfe :D

Comments

Ist das so in etwa richtig?

Beweis: Sei m<0. Dann wird x>0

e^x / x^m > 1 / x^m -> ∞ für x->∞

Sei nun a ≥ 0 und n:=m+1. Sei C ∈ ℝ beliebig gewählt und x:=│C│*(n+1)!(fakultät). Dann gilt für x>max{1,x}:

$$\frac { { e }^{ x } }{ { x }^{ m } } >\frac { { e }^{ x } }{ { x }^{ n } } =\frac { 1 }{ { x }^{ n } } \sum _{ l=0 }^{ \infty  }{ \frac { { x }^{ l } }{ l! }  } >\frac { 1 }{ { x }^{ n } } \frac { { x }^{ n+1 } }{ (n+1)! } >\frac { x }{ (n+1)! } \quad =\quad |C|\quad \ge \quad C$$

also ist nach Definition (a) x_n ≥ c und der Grenzwert geht daher gegen unendlich.

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hat jdn eine idee ? das wäre lieb .

Sabrina

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Idee:

Sei f(x)= e^x/x^m

f(x) divergiert genau dann, wenn log(f(x)) divergiert.

Log(f(x))=x-log(x)*m

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also doch ist alles richtig was momo gemacht hat oder?

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Ich denke mal das stimmt, also am Ende kommt das richtige raus. Aber wie kommst du auf $$ =\frac { 1 }{ { x }^{ n } }\sum _{l=0}^{\infty}{\frac { { x }^{ l } }{ l! }}? $$