Verifizieren Sie, dass es eine Basis gibt...

Question

Aufgabe:

Sei \( K \) ein Körper, \( V \) ein endlich-dimensionaler \( K \)-Vektorraum und \( U, U^{\prime} \subset V \) zwei Untervektorräume mit \( U \cap U^{\prime}=0 \). Schreibe \( n=\operatorname{dim}(V) \), \( r=\operatorname{dim}(U) \) und \( r^{\prime}=\operatorname{dim}\left(U^{\prime}\right) \).

Verifizieren Sie, dass es eine Basis

\( \underbrace{x_{1}, \ldots, x_{r}}, \underbrace{x_{r+1}, \ldots, x_{r+c}}_{\underline{r}}, x_{r+r^{\prime}+1}, \ldots, x_{n} \in V \)

gibt, bei der die ersten \( r \) Vektoren eine Basis von \( U \) und die nächsten \( r^{\prime} \) Vektoren eine Basis von \( U^{\prime} \) bilden.

Answer 1

Da V endlich.dim und U und U ' Unterlräume von V sind, sind sie auch endlich dimensional

und besitzen somit je eine Basis, bei der dieAnzahl der Basisvektoren durch die Dim von U bzw. U '

bestimmt ist.

Sei   x1 , ... , bis xr eine Bais von U

Diese sind dann auch lin. unabh. in U + U '

und läßt sich somit zu einer Basis von U + U ' ergänzen.

x1 , ... ,  xr, x_r+1 , .....  x _r+r'

Wegen U ∩ U ' = 0 ist dim (U ∩ U ') = r+r ' und die ergänzten

Basisvektoren sind aus U ' 

Diese Basis des Unterraumes U + U 'von V lässt sich dann zu einer Basis von V ergänzen.