Welche Maße erhält das Gebiet, wenn die Grundstücksfläche maximal sein soll (Extremalproblem Gewerbegebiet)

Question

Zwischen Autobahn, Stadtwald und Fluss soll, wie aus der Planungszeichnung ersichtlich, ein neues Gewerbegebiet erschlossen werden, dessen südwestliche Ecke exakt am Fluss f(x)= 1/x liegt und dessen Grundstücksgrenzen achsenparallel verlaufen.

Welche Maße erhält das Gebiet, wenn

a) die Grundstücksfläche maximal sein soll,

b) die südliche und östliche begrenzung eine möglichst lange Werbefläche bilden soll?

Answer 1

a)  Für die Fläche gilt A= a*b
wenn der Punkt bei x/ 1/x liegt ist
b=4-x  und   a=  2 - 1/x    also A(x)= (4-  x) * ( 2 - 1/x   )  mit x aus [0,5 ;4]
A(x)  =  -2x - 4/x +9

Max suchen mit A'(x) =0 gibt  x=√(2) 
und A ''(√(2) ) = -2*√(2) < 0 also rel max bei x= √(2).
und A(√(2)) = 9-4√(2) ungefähr 3,3

Randwerte A(0,5) =0
A(4)=0

Also Maximum bei x= √(2)

Bei b) soll B(x) = a+b = (4-  x) + ( 2 - 1/x   )   = -x +6 - 1/x maximal sein.
B ' (x) = 0 gibt   x=1
B ''(1) = -2 < 0 also max.    mit B(1) = 4
Randwerte  B(0,5) = 3,5
B(4) = 7/4  sind kleiner, also Max bei x=1

Comments

aber was bedeutet wu? :) und der Punk (x|1/x) ? ist der gemeint?

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√(2) soll "Wurzel aus 2" heißen. Rechne mal nach, dann kommt das wirklich raus.

Genau Punkt (x / 1/x )

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wie kommt man auf x=√(2) bei der Ableitung?

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einfach die Gleichung

-2x - 4/x +9 = 0  lösen   | *x

-2x^2 - 4 + 9x = 0

jetzt ist es eine quadratische Gleichung,

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Ableitung: -2 + 4*(1/x²)

Null setzen und auflösen: 4*1/x² = 2  -->  1/x²=0,5  --> x² = 2  --> x=wurzel(2)

richtig?

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Tip : Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzen und nachrechnen
ob diese dann stimmt. Dies ist die sogenannte Probe.

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bei b.) hätte ich mal eine Frage :)
also was muss ich da wie ableiten wenn ich "-x +6 - 1/x" ableite erhalte ich "-1" und die nächste ableitung wäre dann ja logischer weise "0" aber in der oberen rechnung geht es ja so weiter "B ''(1) = -2 < 0"

oder muss ich etwas ganz anderes ableiten?

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wenn ich "-x +6 - 1/x" ableite erhalte ich

-1 + 0 + 1/x^2  !!!

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ah ich hab meinen Fehler gefunden ich habe statt "1/x" --> "1/2" geschrieben

Danke. :)

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Wie kommt ihr denn von A = -2x² -4 +9x auf so eine Ableitung? Ich komme ganz einfach auf A' = -4x +9.

Am Ende erhalte ich x_E = 2,25. Setzt man das dann in b = 4 -x und a = 2 -1/x ein, sind b 1,75 und a 1,5 lang, um eine maximale Fläche zu erhalten.