Es sei K ein endlicher Körper. Betrachte K als K-Vektorraum. (linear unabhängige Potenzmenge)

Question

Aufgabe:

Für einen Körper \( K \) und einen \( K \)-Vektorraum \( V \) sowie \( X \subseteq V \) bezeichnen wir mit \( \mathfrak{P}_{l u}(X) \) die 'linear unabhängige Potenzmenge' von \( X \), d.h. die Menge aller linear unabhängigen Teilmengen von \( X \).

(a) Es sei \( K=\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}, V=(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})^{2} \). Bestimme \( \mathfrak{F}_{l u}\left((\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})^{2}\right) \).

(b) Es sei \( K=\mathbb{Q}, V=\mathbb{Q}^{3}, X=\{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2),(1,1,1)\} \). Bestimme \( \mathfrak{F}_{l u}(X) \).

(c) Es sei \( K \) ein endlicher Körper. Betrachte \( K \) als \( K \)-Vektorraum. Zeige: Für \( X \subseteq K \) ist \( \left|\mathfrak{F}_{l u}(X)\right|-|X| \in\{0,1\} \)

Answer 1

zu (a) : Es ist K der Körper mit den Elementen  0 und 1

V hat dann 4 Elemente  (0;0)  (1;0)  (0;1) und (1;1)  .

Teilmengen von V, deren El. alle lin.un. sind wären dann

{ (1;0)}   { (0;1)}  { (1;1)}  

denn alle vom Nullvektor verschiedenen Vektoren sind ja für sich allein immer l.u.

{(1;0)  (0;1) }       {(1;0)  (1;1) }    {(1;1)  (0;1) }

da (1;0) + (0;1)  = (1;1)   sind die drei nicht lin. un.

also war es das.   6 Elemente in P _lu

bei b) musst du einfach schauen, was du an lin.un. Teilmengen in X findest.

bei c)  K als K-VR hat ja die gleichen El. wie K. und die sind immer l.u., wenn

es nicht gerade die Null ist.

Allerdings eine Menge mit mehr als einem El.  

(von 0 verschieden müssen die natürlich sein.) ist nie lin. un.

da bei zwei Elementen a und b die Linearkombination

-b * a + a * b  immer Null ist.

Comments

danke für die antwort, aber ich verstehe schon bei der a) nicht wie du auf genau diese kommst, zb. hast du {(1;1)} drin, aber 2*(1;1)=(2;2)=(0;0)?

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hast du {(1;1)} drin, aber 2*(1;1)=(2;2)=(0;0)?

Der Körper aus dem die Faktoren sind hat doch nur 0 und 1

also gibt es nicht sowas wie  2  *(1;1) denn 2 wäre ja 0 und

0 *(1;1) soll ja den Nullvektor geben.

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ah stimmt, du hast recht :) die leere menge gehört aber auch noch dazu, oder?

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Ach ja, die hatte ich vergessen.

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ok gut, bei der b) sinds doch eigentlich alle kombinationen außer alle 4 zusammen, oder?