Wie hier schon beantwortet wurde läuft ein Widerspruchsbeweis, wenn du \(A \Rightarrow B\) zeigen willst, so ab:
Du nimmst \(A\) an und gleichzeitig \(\neg B\). Dann zeigst du, dass dies einen Widerspruch ergibt.
Wenn du die Kontraposition nutzt, so nutzt du aus, dass \(A \Rightarrow B\) äuqivalent zu \(\neg B \Rightarrow \neg A\) ist, d.h. du nimmst \(\neg B\) an und zeigst, dass \(\neg A\) folgt.
Ich persönlich finde Widerspruchsbeweise auf eine gewisse Art und Weise "schöner". Aber ich möchte dennoch anmerken, dass direkte Beweise oder Beweise durch Kontraposition (die ja im Prinzip auch direkte Beweise sind) besser sind als Widerspruchsbeweise:
Gehen wir erst mal vom normalen direkten Beweis aus. Dabei wirst du ja mehrere Zwischenschritte absolvieren, d.h. du zeigst im Prinzip ja so etwas wie
$$ A \Rightarrow X_1 \Rightarrow X_2 \Rightarrow ... \Rightarrow B $$
D.h. du hast nicht nur \(A \Rightarrow B\) gezeigt, sondern der Beweis liefert noch mehr Informationen, nämlich auch \(A \Rightarrow X_1\) etc.
Beim Beweis durch Kontraposition ist das genau so, dort zeigst du ja mit Zwischenschritten etwas wie
$$ \neg B \Rightarrow Y_1 \Rightarrow Y_1 \Rightarrow ... \Rightarrow \neg A $$
d.h. durch den Beweis werden auch noch mehr Informationen sichtbar, z.B. \(\neg B \Rightarrow Y_1\) etc.
Beim Beweis durch Widerspruch hingegen gibt es keine zusätzlichen Informationen durch den Beweis. Denn dort folgerst du ja Dinge, unter der Annahme, dass \(A\) und \(\neg B\) gelten. D.h. die Folgerungen sind nur gültig, wenn diese Annahme gilt, aber durch den Widerspruch zeigst du ja genau, dass diese falsch ist und somit auch die Folgerungen, die du im Beweis nutzt. Verstehst du was ich meine?
Dadurch liefert ein Widerspruchsbeweis weniger Informationen und ist in gewissem Sinne "schlechter" oder weniger nützlich.
