Bruchgleichungen gemeinsamer Nenner

Question

Ich habe da eine Sache, die ich nicht ganz verstehe. Ich kann die Gleichung zwar lösen, aber nicht auf die Art und Weise, wie sie mein Lehrer gelöst hat.

Die Gleichung lautet:

$$ \frac { 1 } { x ( x + 1 ) } = \frac { 5 } { ( x + 2 ) ( x + 1 ) } - \frac { 2 } { x ( x + 2 ) } $$

Der gemeinsame Nenner aller Brüche müsste ja jetzt \( x(x+1)(x+2) \) sein, weil man ihn durch jeden Nenner, der in den Brüchen vorkommt, teilen könnte.

Aber wie berechne ich jetzt die Zähler? Das habe ich nicht ganz verstanden...

Also das wäre jetzt nach meinem Verständnis:

$$ \frac { ? } { x ( x + 1 ) ( x + 2 ) } = \frac { ? } { x ( x + 1 ) ( x + 2 ) } - \frac { ? } { x ( x + 1 ) ( x + 2 ) } $$

Also wie bekommt man den Zähler raus und vor allem warum? Also wäre schön, wenn mir jemand die genaue Herleitung schreiben könnte.

Eine andere Aufgabe war z. B.

$$ \frac { 2 x } { x ^ { 2 } - 5 x + 6 } + \frac { x + 2 } { x ^ { 2 } - 3 x } = \frac { x + 3 } { x ^ { 2 } - 2 x } $$

Da weiß ich aber nichtmal, wie ich den gemeinsamen Nenner finden soll? Vielleicht (x^2-5x+6)/x^2-3x)(x^2-2x)?

Answer 1

Du musst eigentlich gar nicht so viel nachdenken (da geht meistens was falsch ;) ) sondern ganz einfach sorgfältig erweitern:
Ich nenne die Brüche mal den ersten, den zweiten und den dritten Bruch, um das Drübersprechen einfacher zu machen.

Den ersten Bruch musst du mit (x+2) erweitern, also wird der Zähler am Ende 1*(x+2) = x+2 lauten.

Den zweiten Bruch musst du mit x erweitern, der Zähler muss also 5x lauten.

Den dritten Bruch musst du mit (x+1) erweitern, also muss der Zähler 2*(x+1) = 2x+2 lauten.

 

Für die zweite Aufgabe musst du die Nenner zuerst faktorisieren, das macht vieles einfacher!

 

Das mache ich wieder einzeln:
x²-5x+6: durch Ausprobieren stellt man fest, dass der Term bei x=-1 eine Nullstelle hat, also muss er schreibbar sein als (x+1)*(x-c) wobei c seine zweite Nullstelle ist. Das c kann man nun entweder mit Hilfe der Polynomdivision finden oder einfach ausmultiplizieren und mit dem Ausgangsterm vergleichen:

(x+1)*(x-c) = x²+x-cx-c = x²-5x+6

(1-c)*x -c = -5x+6

=> c = 6

Den ersten Nenner kannst du also als (x+1)*(x-6) schreiben.

 

x²-3x: Beim zweiten Nenner ist das Faktorisieren sehr leicht, da du direkt ein x ausklammern kannst:

x²-3x = x*(x-3)

 

x²-2x: Genauso beim dritten Nenner:

x²-2x = x*(x-2)

Der Hauptnenner ist nun:

x*(x+1)*(x-2)*(x-3)*(x-6)

 

Jetzt musst du wieder entsprechend erweitern, um alle Brüche auf den gemeinsamen Nenner zu bringen, was relativ viel Fleißarbeit ist, aber bei genug Aufmerksamkeit eigentlich nicht schwierig sein sollte.

Answer 2

Wie die Lösungen zustande kommen, haben wir in der Lektion Bruchgleichungen / Bruchterme vollständig erklärt.

Zu 1: Grundsätzlich erweiterst du den jeweils fehlenden Term beim Zähler und Nenner des Bruches.

$$ \frac { 1 \color{#00F}{·( x + 2 )} } { x ( x + 1 ) \color{#00F}{·( x + 2 )} } $$