Untersuchen Sie (a n ) auf Konvergenz und ermittle gegebenenfalls den Grenzwert: an+1:= √(c+an)

Question

hallo.

Es sei c > 0 fixiert und die Folge (a n ) gegeben durch a₁=wurzel(c) a₂=wurzel(c+wurzelc))

a_n ist rekursiv deffiniert durch a_n+1:= Wurzel(c+an)

Untersuchen Sie (a n ) auf Konvergenz und ermitteln Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

hinweis: monotoniekriterium!

also ich hab verucht das monotoniekriterium anzuwenden:

i.B:    a_n<a_n+1   , also a_n<wurzel(c+a_n)

i.S.:  wurzel(c+a_n)< wurzel(c+wurzel(c+a_n))

dann quadriert, c gekürtzt und nochmal quadriert. dann hatte ich:

a_n² -a_n -c =0 . dann pqformel angewendet und jetzt weiß ich nicht mehr weiter.... ist der ansatz überhaupt richtig??

liebe Grüße

Answer 1

hättest du den Induktionsanfang mit \( a_1 = \sqrt{c} \) gemacht dann wärst du an der Stelle im IS an der du auf beiden Seiten c gekürzt hast fertig, da sich dann deine Induktionsvoraussetzung ergeben hätte.

Gruß

Comments

ohhh ;D jaaa... stimmt.

wenn ich die konvergenz zeigen will, muss ich doch einfach nur zeigen, dass an nach oben beschränkt ist.

dass habe ich jetzt so gemacht, dass ja für lim(n gegen unendlich) a=wurzel(c+a) und dann nach a aufgelöst. damit sollte die Aufgabe doch fertig sein, oder?

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ach nee. ich habe ja dann eine parabel gleichung. dann ist die obere schranke doch der hochpunkt oder etwa nicht?

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Hi,

den letzten Teil kannst du natürlich erst anwenden wenn du die Konvergenz nachgewiesen hast. Was ist denn deine obere Schranke für die Folge bzw. hast du schon vorher gezeigt, dass die Folge nach oben beschränkt ist?

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ich habe  a_n<c gesagt und mit induktion nachgewiesen. also ist c obere schranke. also konvergiert an auch. seltsam ist nur, dass ich, wenn ich den wert gegen den die folge konvergiert 0,5 bekomme und nix in abhängigkeit von c. also ist das mit der Parabel und den TP finden wohl doch falsch.

sry hab mich oben etwas unklar ausgedrückt

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c als obere Schranke ist im Allgemeinen falsch! Betrachte dazu einfach nur den Fall c ≤ 1!

Du hast die Beschränktheit also noch gar nicht nachgewiesen.

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-.- ok. dann sag ich einfach schranke ist 2c+1

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Damit wird es gehen :).
Jetzt berechnest du nur noch den Grenzwert, wie du es bereits angedeutet hast. Bedenke dabei das eine negative Lösung keinen Sinn macht (klar wieso?).

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k danke jetzt hab ich alles =) klar kann ja keine negativen werte in die wurzel einsetzen. sin ja in ℝ

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Das meinte ich eigentlich nicht...

du müsstest doch am Ende auf

a^2-a-c = 0

gekommen sein oder?

Die Gleichung hat 2 Lösungen, aber nur eine ist relevant für dich.

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jo. die mit a/2 + √( (a/2)² + c)

da ja der term mit der wurzel > als a/2 ist würde a sonst negativ werden. ahh und 0 ist ja letztlich auch eine untere Schranke. deshalb darf er nicht unter 0 sein.

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Und fertig ist das ganze =)

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Immer gerne hast ja super mitgearbeitet :)