Landau-Symbole angewendete auf Funktionen

Question

Stellen sie für die Folgenden Paare(f,g) der Funktionen jeweils fest, welche der Aussagen
1.f(x)=O(g(x)),

2.f(x)=o(g(x))

3.g(x)=O(f(x))

4.g(x)=o(f(x))

für x→ ∞

gelten.

a) f(x) =x²   g(x) =x

b) f(x)= e^x  g(x) =e^√x

c) f(x)= e^x / x     g(x)= x³

d) f(x) = e^log2(x)  g(x)=x²

Ich muss jetzt die funktionen auf jede der Aussagen überprüfen. 2 und 4 gilt nur wenn lim_x->∞ f(x)/g(x) =0 ist.
ich verstehe nur nicht ganz wie man 1 und 4 überprüft.
Das hier wurde definiert:
f( x ) = O ( g ( x )) , x → a, falls einer der folgenden Fälle erfüllt ist:
1) a = ∞ und es gibt C > 0, so dass | f ( x ) |≤ C | g ( x ) | für alle x ∈ D mit x > C ist.
2) a = −∞ und es gibt C > 0, so dass | f ( x ) | ≤ C | g ( x ) | für alle x ∈ D mit x < − C ist.
3) a ∈ R und es gibt ε,C > 0, so dass | f ( x ) |≤ C | g ( x ) | für alle x ∈ D mit | x − a | < ε ist.

Da x-> ∞ vorgegeben ist muss ich nur 1) beachten oder? Wie genau habe ich das jetzt anzuwenden? vielleicht kann mir das jemand bei einer aufgabe vorrechnen.

Comments

könnte vielleicht bitte jdn helfen ? das wäre lieb von ihm/ihr .

Sabrina .

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Kommt etwas spät, aber vielleicht hilft es noch. Ich mal mal a). Es sei \(f(x)=x^2\) und \(g(x)=x\). Dann gilt \(f(x)\neq\mathcal{O}(g(x)) \) bzw. \(x^2\neq \mathcal{O}(x)\). Wie kommt man darauf? Naja das geht so:

Nehme an, es würde \(x^2 = \mathcal{O}(x) \) gelten. Dann gibt es ein \(c>0\), sodass für alle \(x>c\)

\( x^2 \leq c|x|=cx \). Das führen wir nun zum Widerspruch. Wegen \(c>0\) ist \(x>0\), deshalb können wir beide Seiten der Ungleichung durch \(x\) teilen und erhalten so \(x\leq c\) und dies widerspricht \(x>c\)

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Hallo :) kannst du bitte die b zeigen ? ich verstehe es nämlich noch nicht ganz.

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ah eine brauche hilfe bei der c und d. :)