Geradengleichung für die Tangente am Einheitskreis bestimmen

Question

Aufgabe

1. Welche Bedingungen müssen die Koeffizienten \( a, b, c \in \mathbb{R} \) erfüllen, damit die Gleichung \( a x+b y=c \) eine Gerade beschreibt, die den Einheitskreis (d.h. vom Radius 1 mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung) in einem Punkt berührt?

2. Bestimmen Sie die Geradengleichungen für die Tangenten an den Einheitskreis durch den
Punkt \( (3,4) \)

3. Wie bestimmt man die Tangenten an einen Kreis, die durch einen vorgegebenen Punkt außerhalb des Kreis gehen, elementargeometrisch? (Hinweis: Satz des Thales.)

Vielen lieben dank schon mal für eure Mühe

Comments

Die Gerade muss den Abstand 1 vom Punkt (0,0) haben.

Wenn du Vektorgeometrie schon kennst, kannst du z.B. die HNF benutzen.

Für welche Klasse brauchst du denn die Lösung?

Answer 1

Für die Punkte auf dem Einheitskreis

gilt x^2 + y^2 = 1

und wenn (a,b)  mit a und b beide ungleich Null

der Berührpunkt ist, muss die Gerade die Steigung -a/b haben,.

und es muss a^2 + b^2 = 1 gelten

ax+by=c  gibt für b ungleich 0       y= -a/b*x + c/bund (a,b) eingesetzt gibt

b=-a/b*a + c/b

b^2 + a^2 = cb  also c=1/b  damit der Punkt auf dem EHK liegt.

also muss lediglich   c = 1/b sein.  also Gleichung ax+by= 1/b

Im Falle a=0  da sind es die Geraden  y=1 oder y=-1  alos

a=0 und b=1 und c=+-1

Im Falle b=0 sind es x=1 oder x=-1

also   a=1  und b=0   und c= +-1

Answer 2

Kreisgleichung = Geradengleichung

Ableitung der Kreisgleichung = Ableitung der Geradengleichung

Da gibt es unendlich viele Lösungen - einfach mal Gleichsetzen und schauen, was sich vereinfachen lässt.

Answer 3

Ich habe für
ax + by = c  heraus

x0 Berührpunkt

a = x0
b = √ ( 1 - x0^2 )
c = 1

Ich muß das Ganze aber noch lesbar zu Papier bringen.

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Fülltext mit 12 Buchstaben.

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Fülltext Fülltext

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Hier meine Berechnungen für 2.)

 

Es ergibt sich
x = -0.6638 ( Berührpunkt )

t = 0.8875 * x + 1.34

Die Geradengleichung umzurechnen in die a,b,c Werte
habe ich keine Lust mehr. Ebenso gibt es noch eine
weitere Tangente.