Wahrscheinlichste mittlere Geschwindigkeit berechnen. Integration durch Substitution (+partielle Integration)

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Geschwindigkeitsverteilung:

\( h(v)=a * v^{2} * e^{-b v^{2}} \) mit \( a=4 \pi\left(v_{0} \sqrt{\pi}\right)^{-3}, b=v_{0}^{2} \)

Nun soll die wahrscheinlichste Geschwindigkeit v_w (Maximum von h(v)) und die mittlere Geschwindigkeit berechnet werden

\( \bar{v}=\int \limits_{0}^{\infty} v h(v) d v \)

Als Tipp ist gegeben, dass zum Lösen des Integrals eine Substitution (v²=t) durchgeführt und dann durch partielle Integration gelöst werden soll.

Answer 1

max von h(v) machst du mit h ' (v) =0
also h ' (v) = a* (   2v * exp(-b*v^2) + v^2 * (-2b*v)* exp(-bv^2) )
also h)v) = 0   wenn     2 v + v^2 * * (-2b*v) = 0     (v=0 ja eher nicht)
                                    2   =  2b * v^2
                                    1/b  =  v^2     und mit b=vo^2 also  v = 1 / vo

und bei dem Integral kriege ich   v_quer = a / (2b^2) heraus.
macht das pysikalisch Sinn ?

Comments

Danke erst einmal für die Antwort :) Bezieht sich das Integral bei dir auf die mittlere Geschwindigkeit?

Gruß

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ja, das Integral habe ich so ausgerechnet (mit dem gegebenen Tipp):

erst mal ohne Grenzen, also nur eine Stammfunktion bestimmt:

Int v*h(v) dv = Int v*(a*v^2 * exp(-b*v^2) dv  = Int a*v^3 * exp(-b*v^2) dv

jetzt Substitution t=v^2  also v=t^{0,5}   dv/dt = 0,5*t^{-0,5}also dv = 0,5*t^{-0,5} dt

Dann ist das das Integral über a*t^{1,5} * exp(-b*t) *0,5*t^{-0,5} dt

oder kürzer  Int 0,5a * t * exp(-b*t)  dt

und jetzt partielle Int  in der Form Int f*g ' = f *g - Int f ' * g

und die 0,5a kommen vor das Integral

mit f=t und    g ' = exp(-b*t)

also f ' = 1   und g =  -1/b * exp(-b*t)

dann hast du

0,5a* (  t *   -1/b * exp(-b*t)  -   Int 1 * -1/b * exp(-b*t) dt

= 0,5a * ( -t/b * exp(-b*t)  +(1/b) Int   exp(-b*t) dt

Das Restintegral ist einfach -1/b * exp(-b*t) also alles

= 0,5a * ( -t/b * exp(-b*t) + (-1/b^2 ) * exp(-b*t)  ) = 0,5a * ( -t/b  -1/b^2 )  * exp(-b*t)

Jetzt wieder t=v^2 einsetzen gibt

= 0,5a * ( -v^2/b - 1/b^2 ) * exp(-b*v^2) und tatsächlich, wenn du das ableitest

kommt v*h(v) heraus, Stammfunktion stimmt also schon mal.

wegen Integral von 0 bis unendlich mach mal erst von o bis z

gibt  o,5a *    ( (-z^2/b -1/b^2) *exp(-b*z^2)  - (-1/b^2) * e^0  )

= o,5a *    ( (-z^2/b -1/b^2) *exp(-b*z^2)  +   1/b^2 ) und für z gegen unendlich also

= o,5*a / b^2  Jetzt musst du nur noch für a und b die Werte einsetzen.

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Ich hätte noch eine kleine Rückfrage: Wo ist das "a" im ersten Aufgabenteil (Maximumberechnung)?

Gruß