Beweis zu (a+b)³ größer als a³+b³

Question

Wenn a und b > 0 sind,  ist es ganz einfach

(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³ > a³+b³

Aber wie ist der Beweis, wenn a und b auch negativ sein können?

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Sorry hab mich vertan. Muss das nochmal überdenken.

Answer 1

Man bringt die Ungleichung auf die Form:
ab*(a+b) > 0 //-a^3, -b^3, a*b ausklammern

1.Fall: a*b > 0:
a > -b

2.Fall: a*b < 0:
a < -b

 

Die Ungleichung ist also nur dann erfüllt, wenn gilt:
a*b > 0 und zugleich a > -b

oder

a*b < 0 und zugleich a < -b

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Der Gedanke der Fallunterscheidung ist zwar richtig, nicht aber der daraus gezogene Schluss.

 

Gegenbeispiel zum ersten Fall:

a=-10 und b=-5,

also (-10)(-5)=50>0

aber -10>-(-5) ist eine falsche Aussage.

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Wieso? Wenn ich -10 und -5 einsetze, dann ist die Ungleichung auch nicht erfüllt. Diese Zahlen erfüllen keine der Bedingungen und somit auch nicht die obige Ungleichung. Meine Fallunterscheidung liefert also eine Aussage darüber welche Zahlen die Ungleichung erfüllen können.

(-10 -5)^3 - ( (-10)^3 + (-5)^3 ) > 0 führt zu einem Widerspruch.

Oder hab ich mich grad verrannt?

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Das ist ja das Problem, dass wir zu einem Widerspruch kommen^^.

Du erlaubst in Deinem Fall 1 das von mir gegebene Beispiel. Doch dies läuft auf einen Widerspruch hinaus. Du hast die Fälle also nicht fein genug gegliedert. Siehe meine Antwort.

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 Johann Ribert hat soweit ich das sehe absolut keinen Fehler gemacht.

Die Ungleichung 

(ab) * (a+b) > 0

Kann gesehen werden wie die Muliplikation zweier Faktoren. Ein Produkt ist größer Null, wenn beide Faktoren großer Null sind oder wenn beide Faktoren kleiner Null sind. 

Also 

ab > 0 und a + b > 0 bzw. a > -b

oder

ab < 0 und a + b < 0 bzw. a < -b

Das ist soweit richtig und braucht nicht weiter unterschieden werden.

Wenn ich die Lösung a=-10 und b=-5 untersuche

ab = (-10)*(-5) > 0 das ist sicher erfüllt

-10 > -(-5) liefert einen Widerspruch. Daher ist für diese Zahlen die Originalgleichung auch nicht erfüllt.

(a + b)^3 > a^3 + b^3
(-10 + (-5))^3 > (-10)^3 + (-5)^3
(-15)^3 > -1000 + (-125)
-3375 > -1125
Auch diese Gleichung stimmt nicht. 

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Ahh in der Tat hatte ich mich da vertan.
Ich hatte glaube ich Probleme mit dem Lesen von Fall 1:

a*b > 0:
a > -b

Letztere Zeile hat mich etwas verwirrt, da ohnehin a>0 und b>0 gelten muss und die Bedingung a>-b etwas merkwürdig anmutet.

 

Verzeih Johann.

Nichtsdestotrotz sollte meine Antwort eine Alternative sein, die sogar noch ein wenig weitere aufgedröselt ist ;).

Answer 2

(a+b)³ > a³+b³

 

Hi,

man kann die Gleichung zu

ab(a+b)>0  vereinfachen (siehe Johann).

Nun folgen die Fallunterscheidungen.

 

1. Fall ist offensichtlich

a>0 und b>0

2. Fall

a>0 aber b<0...was muss dann gelten?

Wegen der Summe ergibt sich

a>0 und b<-a

3. Fall:

Beim letzten Fall ist die Überlegung, dass wir einen weiteren negativen Faktor brauchen, aber nicht deren 2!

a<0 und 0<b<-a

 

Grüße

Comments

Erklär mir das bitte nochmal. Ich seh im Moment einfach nicht was ich da falsch mache.

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Du berücksichtigst nicht, dass Du drei Faktoren hast. Entweder müssen alle positiv sein, oder zwei negativ und einer positiv.

Alle positiv ergeben den ersten Fall.

Beim zweiten Fall ist klar, dass a positiv ist und b negativ. In wieweit b negativ sein darf, hängt von der Summe ab, denn der Faktor b ist immer negativ, solange es b ist. Die Summe aber hängt auch von a ab. Deswegen gilt a+b<0 und demnach b<-a ---> Die Summe muss ja kleiner 0 sein, da b kleiner 0 ist und nach obiger Aussage zwei Faktoren negativ sein müssen.

 

Für den dritten Fall gilt gleiche Überlegung.

Ist a<0, so muss entweder b oder die Summe auch kleiner 0 sein. Aber nur eins von beidem.

Es gilt also b<0 und (a+b)>0, oder b>0 und (a+b)<0.
Es folgt Fall 3.

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Du widerlegst meinen zweiten Fall indem Du sagst er führe zu einem Widerspruch:
Wenn ich den 2. Fall in Deiner Lösung nehme a = 10 setze und b = -1, dann ist zunächst mal a>0 und b<0 erfüllt. Es gilt dann auch a>0, aber nicht mehr b<-a. Ist das dann nicht auch ein Widerspruch ähnlich dem in meiner Lösung?

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Ja, siehe oben. Tut mir leid für das Stiften von Verwirrung :/.

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Kein Problem. Viel schlimmer wäre es, wenn ich einen Fehler mache und es keiner bemerkt. Außerdem hätte es ja tatsächlich sein können, dass ich da einen Denkfehler hatte. ;)