Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte unter einem oder unter mehreren Wurzelzeichen vorkommt. Ansonsten ist es völlig egal, wie die Gleichung aussieht. D.h. es kann sich um eine 'beliebig komplizierte' Gleichung handeln.
Wichtig ist beim Lösen erst Mal, dass man das oder die Wurzelzeichen wegbringt.
Danach rechnet man wie bisher mit einer Gleichung bis man x bestimmt hat: Für dich in der Neunten Klasse heisst das Ziel dieser Umformungen entweder '' auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht nur noch x und auf der andern ein Term aus Zahlen ohne x." oder "auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht 0 und auf der andern kommen noch Summanden mit x2 , x und ev. eine Zahl vor". Im ersten Fall ist man fast fertig. Im zweiten Fall ist man nach der Verwendung der Formel für quadratische Gleichungen fast fertig.
Es gibt viele Wurzelgleichungen, die gar niemand auflösen kann. Es kann sein, dass sie keine Lösung haben oder, dass sie nur numerische Näherungsverfahren eine Lösung bestimmen können. Wundere dich nicht, wenn du eine Gleichung nicht lösen kannst.
Ich hoffe aber, dass du zum Üben doch ein paar Aufgaben hast, die man lösen kann.
und zeige dir an einem Beispiel mit einem einzigen Wurzelzeichen, wie du die Wurzel wegbringst.
Du muss sie isolieren und dann linst und rechts quadrieren.
Als Voraussetzung brauche ich, dass du verstehst, dass es in den reellen Zahlen nur Wurzeln aus positiven Zahlen oder 0 gibt und das Resultat immer positiv oder 0 ist. Es gilt z.B. √9 = 3. nie √9 = -3.
Zudem gilt (√9)2 =32= 9. Beim Quadrieren verschwindet also das Wurzelzeichen. Gleichzeitig gilt aber auch (–√9)2 =(–3)2= 9. Da leider auch ein allfälliges Minuszeichen verschwindet, muss man beide Fälle im Auge behalten, wenn man die Gleichung x2= 9 löst.
Jetzt das Beispiel.
√(x-4) ist nur definiert für x≥ 4
2x - 7 + √(x-4) = 0 | Wurzel isolieren - 2x + 7
√(x-4) = -2x + 7 | quadrieren
x-4 = (7 - 2x)^2 | binomische Formel
0= 49-28x+4x2-x+4
0=4x2-29x+53 Quadratische Gleichung.
Diskriminante b2-4ac = 292-4*4*53 = -7 <0 -----> Keine reelle Lösung.
Die ursprüngliche Gleichung hatte somit keine reelle Lösung. Das ist natürlich etwas blöd, aber durchaus normal, wenn man einfach so eine Wurzelgleichung aufstellt. Halte dich besser an Aufgaben im Buch.
Wenn ihr die quadratischen Gleichung noch nicht behandelt habt, musst du versuchen quadratische Gleichungen zu faktorisieren, sollte eine solche herauskommen. Das ist höchstens dann möglich, wenn überhaupt eine Lösung vorhanden ist.
Zudem: Prüfe auf jeden Fall, ob deine Lösung auch in der ursprünglichen Gleichung eingesetzt werden kann. Eine negative Zahl unter der Wurzel ist da nicht möglich.
