x^3+ax^2+bx auf Extrema untersuchen

Question

Habe folgende Funktion gegeben f(x) = x^3 + ax^2 + bx und soll diese auf lokale Extrema untersuchen.

Dabei ist x ∈ ℝ und die Parameter a,b ∈ ℝ. Das Ganze soll auch in Abhängigkeit der Parameter  a und b passieren.

Jetzt habe ich die erste Ableitung gebildet: f'(x) = 3x^2 + 2ax + b

Um dann die Nullstellen zu finden muss ich ja f'(x) = 0 setzen

Habe in einem anderen Forum diese Gleichung gefunden und dort ist beim Einsatz der pq-Formel das x weggefallen.

Meine Frage: Wie kommt das, wo ist es hin und wieso?

Comments

EDIT: Bin ich doof...Meine Frage nach dem x hat sich erledigt. Ich hatte einen totalen Hänger, was die pq-Formel angeht.

Answer 1

f ' ( x ) =  3x² + 2ax + b =

3x² + 2ax + b = 0

Wenn die mit Hilfe der pq-Formel oder der quadratischen Ergänzung
nach x umstellst bekommst du einen Ausdruck in der Form

x = f ( a,b )

Das heißt der Punkt x mit horizontale Tangente ist ein
Funktion von a und b

mfg Georg

Answer 2

3x² + 2ax + b = 0
Ach so, habe gerade deinen Kommentar gesehen

Answer 3

f(x) = x^3 + a·x^2 + b·x

f'(x) = 3·x^2 + 2·a·x + b = 0

Normal würde ich hier abc-Formel nehmen. Du kannst aber auch durch 3 teilen und pq-Formel nehmen.

x^2 + 2/3·a·x + b/3 = 0

x = - a/3 ± √(a^2/9 - 3·b/9) = - a/3 ± √(a^2 - 3·b)/3