Extrema fa(x)=-a^2*x^3+x

Question

Die Abeitungen habe ich schon gemacht:

fa'(x)= -3a^2*x^2+1

f''(x)= -6a^2*x

Leider habe ich aufgrund des x-Wertes, der bei mir rauskommt, große Probleme weiter zu rechnen.

X1; 2= +/-  Wurzel aus 1/3a^2 bzw. = +/- 1/a *Wurzel aus 1/3

Könnte mir da vielleicht jemand helfen? .

Comments

Der zweite x wert der da angegeben ist, ist einfach nur umgeformt, so wie ich das verstanden habe?

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Mein Ergebnis : f´ = 1 -9a²*x² !!

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Woher kommt die 9?

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Hast Recht , mein Rechenfehler !!

Answer 1

EDIT: Voraussetzung ist a>0. (vgl. Kommentar unten)

fa'(x)=1 -3a²*x² = 0          | 2. binomische Formel

(1 - √3 ax)(1+√3 ax)

x1 = 1/ (√3 a)    und x2 = - 1/(√3 a)

f''(x)= -6a²*x

f''( 1/(√3 a))= -6a²*(1/ (√3 a) ) 

= -6a*(1/ (√3 ) )  < 0, falls a> 0,  x = 1/(√3 a) ist lokale Maximalstelle 

f''( -1/(√3 a))= -6a²*(- 1/ (√3 a) ) 

= 6a*(1/ (√3 ) )  > 0, falls a > 0  . x =  -1/(√3 a) ist lokale Minimalstelle

Was genau brauchst du sonst noch?  

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Extrema fa(x)=-a²*x³+x

x = 1/(√3 a)

fa(1/(√3 a ) ) = - a^2 * 1/(3*√3 * a^3) + 1/(√3 a)

= - 1/(3√3 a) + 3/(3√3 a) = 2/(3√3 a) = 2√3 /(9a)       Maximum

x = -1/(√3 a)

fa(-1/(√3 a ) ) = + a^2 * 1/(3*√3 * a^3) - 1/(√3 a)

=  1/(3√3 a) - 3/(3√3 a) =  -2/(3√3 a) = - 2√3 /(9a)        Minimum

Comments

-)den Schritt, habe ich soweit auch richtig, habe aber ein Problem beim Einsetzen in die Ausgangsfunktion fa(x) um y raus zu bekommen. Ach ja es gilt übrigens a>0. Wie fasst man das in der Ausgangsfunktion zusammen?

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Hä aber wieso benutzt man denn da die Binomische Formel? Muss man das?

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Hä aber wieso benutzt man denn da die Binomische Formel? Muss man das?

Muss man nicht. Geht aber bedeutend schneller als mit der pq-Formel oder was du da genau gemacht hast.

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-) komisch mein erstes Ergebnis für die Extrempunkte war wohl richtig. Hatte erst dasselbe raus, dachte dann aber ich hätte es falsch zusammengefasst...Tja der erste Gedanke ist wohl oft der richtige haha...schade leider war die Aufgabe teil meiner Klausur...und die einzige Aufgabe, die die ganze Zeit in meinem Kopf rumgeschwirrt ist, weil ich mir beim zusammenfassen so unsicher war...

Vielen Dank nochmal !-)

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Ach ja ich habs nicht mit der pq-Formel gelöst. 1.) -1

 2.) ÷-3a^2

3.) Wurzel ziehen