Lineare Optimierung / Simplex / Gewinnmaximum

Question

Bestimmen Sie den Produktionsplan eines Betriebes derart, dass der Gesamtgewinn zu einem Maxi- mum wird. Das Produktionsprogramm umfasst die Erzeugnisse P1, P2 und P3; die Gewinne bezogen auf eine Erzeugniseinheit betragen 5, 1 und 2 Euro. Zur Herstellung dieser drei Produkte wird eine Materialart benötigt, die nur beschränkt (maximal 240 Materialeinheiten) vorrätig ist. Zur Produk- tion einer Erzeugniseinheit werden bei P1 2 Materialeinheiten, bei P2 4 Materialeinheiten und bei P3 1 Materialeinheit benötigt. Weiter besteht die Restriktionen, dass erstens die Produktionsmengen der Erzeugnisse P1 und P2 gleich sein müssen und zweitens die Anzahl der von P3 produzierten Erzeug- niseinheiten doppelt so hoch wie die Anzahl der von P2 produzierten sein muss. 

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Lösungsansatz:

Erzeugnisseinheiten: P1      P2       P3

Materialeinheiten:    2       4      1

Gewinn:                   5       1      2

Definition:

x = Materialeinheiten

a = Anzahl P1

b = Anzahl P2

c = Anzahl P3

Gewinnfunktion: 5a+1b+2c -> max

Restriktionen:

2a + 4b + c <= 240

2a + 4b + c + y = 240

b = a

c = 2b

Ich komme nicht darauf, wie ich das jetzt in einem Simplex Tableau umforme..

Answer 1

Hi,
es muss wie Du geschrieben hast die Funktion
$$ z=5a+b+2c $$ maxiniert werden.
Die Einschränkungen sind die folgenden
$$ a,b,c \ge 0 $$
$$ a=b $$
$$ c=2b $$
$$ 2a+4b+c \le 240 $$
Das ergibt zusammen
$$ 2b+4b+2b=8b \le 240 $$
Also \( b \le 30 \) und
$$ z = 5b+b+4b=10b \to \text{max} $$
Also ist der maximale Gewinn
$$ z=300  $$ und
$$ a = b = 30 $$ und $$ c = 60  $$