Hi,
Dein Problem kann gelöst werden mit der Verallgemeinerung der Lagrangemethode nach Karush-Kuhn-Tucker. Mit dieser Verallgemeinerung kann man nun auch Ungleichungen behandeln. In Deinem Fall sieht das ganze wie folgt aus. Die zu maximierende Funktion lautet
$$ f(x,y)=\frac{x}{y+1} $$
Die sogenannten Karush-Kuhn-Tucker (KKT) Bedingungen, s.
http://www.uni-graz.at/sor/Downloads/SS2010/MathematischeMethoden/kuhntucker%20%5BKompatibilit%E4tsmodus%5D.pdfab Folie 37 stellt man wie folgt auf.
Zuerst wird die Lagrangefunktion aufgestellt, hier lautet sie
$$ L(x,y)=f(x,y)=\frac{x}{y+1}-\lambda(x-y-2) $$
Nun werden die KKT Bedingungen aufgeführt
$$ (1) \quad \frac{\partial L}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{y+1}-\lambda \le 0 \text{ und } \frac{\partial L}{\partial x}(x,y)=0 \text{ für } x \gt 0 $$
$$ (2) \quad \frac{\partial L}{\partial y}(x,y)=-\frac{x}{(y+1)^2}+\lambda \le 0 \text{ und } \frac{\partial L}{\partial y}(x,y)=0 \text{ für } y \gt 0 $$
$$ (3) \quad \lambda \ge 0 \text{ und } \lambda=0 \text{ falls } x-y<2 $$
Aus (1) folgt \( \lambda \ge \frac{1}{y+1} > 0 \) und damit aus (3) $$ (4) \quad x-y=2 $$
Jetzt muss man die 4 Fälle
$$ \text{ Fall 1: } x = 0 \text{ und } y=0 $$
$$ \text{ Fall 2: } x > 0 \text{ und } y=0 $$
$$ \text{ Fall 3: } x = 0 \text{ und } y>0 $$
$$ \text{ Fall 4: } x > 0 \text{ und } y>0 $$
untersuchen.
Fall 1)
Widerspruch wegen (iv)
Fall 2)
Aus (4) folgt \( x=2 \) und aus (1) \( \lambda=1 \ge 0 \)
Also ist \( (2,0) \) ein Punkt der die KKT Bedingungen erfüllt
Fall 3)
Aus (4) folgt \( y=-2 \) Widerspruch, da \( y \ge 0 \) gelten muss.
Fall 4)
Aus (1) +(2) folgt \( \frac{1}{y+1} = \frac{x}{(y+1)^2} \) was zu \( x-y=1 \) führt im Widerspruch zu (4)
Also bleibt als einziger Punkt der die KKT Bedingung erfüllt der Punkt \( (2,0) \) übrig.
