Lineare Abhängigkeit von Matrizen?

Question

Sei A ∈ Mat(2x2; K) , sei A^2 :=A*A und sei E₂ die 2x2 Identitäts Matrix. Zeige, das die Matrizen A^2  , A , E₂ linear abhängig in Mat(2x2;K) sind.

Answer 1

mit A=
a  b
c  d
planst du einfach mal den Ansatz
A^2 = x*A   +  y*E   (denn dann wären sie ja lin.abh.)
a^2+bc        a*b+b*d
a*c+c*d      b*c+d^2
=
a^2+bc        (a+d)*b
(a+d)*c      b*c+d^2
und jetzt siehst du schon, dass oben rechts und
unten links gleiche Vielfache von b bzw. c stehen.
Also muss das x schon mal a+d sein.
wenn du das einsetzt für x und mit
A^2 = x*A   +  y*E
vergleichst, siehst du, dass man y= ad-bc wählen muss.
Also gilt
A^2 = (a+d)*A   + (ad-bc)*E
also lin. abh.