Welchen Höhenvektor hat der Körper, wenn die Grundfläche durch a_{1}, a_{2} gebildet wird. Volumen des Körpers?

Question

Die Vektoren \( a_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \quad a_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -3 \\ -1\end{array}\right) \quad a_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) \) legen die Kanten eines Körpers
fest, dessen Seitenflächen Parallelogramme sind.

a) Welchen Höhenvektor hat der Körper, wenn die Grundfläche durch \( a_{1}, a_{2} \) gebildet wird?

b) Wie groß ist das Volumen des Körpers?

Ansatz/Problem:

Mein Ansatz wäre, den Vektor a3 zuerst auf den Vektor a1 und dann auf den Vektor a2 zu projezieren. Die beiden erhaltenen Vektoren ergeben addiert einen Vektor P (der Vektor der Projektion auf der Ebene). Daraus kann ich dann den Höhenvektor H = a3 - p errechnen.

Wenn ich jetzt aber in die Musterlösung schaue, wird da mit lächerlich komplizierten Formeln um sich geschmissen und überhaupt meiner Meinung nach viel Sinnloses gemacht (besonders verwirrt mich, dass a1 und a2 orthonormalisiert werden).

Ist mein Lösungsweg jetzt richtig und versucht da nur ein Dozent sich aufzuspielen oder hab ich irgendwo einen Fehler gemacht?

Answer 1

Mein Ansatz wäre, den Vektor a3 zuerst auf den Vektor a1 und dann auf den Vektor a2 zu projezieren. Die beiden erhaltenen Vektoren ergeben addiert einen Vektor P (der Vektor der Projektion auf der Ebene). Daraus kann ich dann den Höhenvektor H = a3 - p errechnen.

So ganz kann ich nicht folgen, könnte mir aber vorstellen, dass es mit deiner idee

auch geht.  Du brauchst ja einen Vektor, der auf der von a1 und a2 senkrecht steht.

Am einfachsten bekommst du den mit dem Vektorprodukt. Das gibt (2,2,-4).

Probier doch mal, ob mit deiner Methode etwas rauskommt, was ein Vielfaches von (2,2,-4)

ist.

Comments

Dankeschön, leider hat's mit meiner Methode nicht funktioniert. Hast Du vielleicht irgendeine Ahnung warum das nicht geht?

Deine Methode ist super, leider sollen wir das über "einfache Geometrie" lösen (keine Ahnung wie ich das genau erklären soll).

In der Musterlösung steht auch dasselbe Ergebnis, allerdings versteh ich nicht so ganz warum man das so rechnen muss.

Die Lösung zu B ist einfach, ich versteh nur nicht wirklich, was der da bei a) macht (bzw. warum er das macht).

---

Das mit der Projektion von a3 auf a1 ist so eine Sache, weil

a1 und a3 senkrecht aufeinander stehen.

Das in der Musterlösung benutzte Verfahren geht davon aus

den Vektor p zu finden,  der vom gemeinsamen Anfangspunkt von

a1,a2 und a3 so in der von a1 und a2 aufgespannten Ebene

liegt, dass seine Spitze genau senkrecht unter der Spitze von a3 liegt.

Den hättest du auch mit dem Ansatz p=x*a1+y*a2 finden können und

damit die Verbindung von a3 und p senkrecht auf der Ebene steht,

müssten die Skalarprodukte <a3-p ; a1> und <a3-p ; a2> beide

Null sein. Damit könntest du die Zahlen x und y ausrechnen und hättest

auch das p. Das benutzte Verfahren spart das Lösen dieser Gleichungen und

führt zum gleichen Ergebnis.

---

Aaaaah okay da ging mir jetzt ein Lichtlein auf.
Dankeschön :)

Answer 2

a)

[1, 1, 1] ⨯ [1, -3, -1] = [2, 2, -4]

[1, 0, -1]·[2, 2, -4]/ABS([2, 2, -4])·([2, 2, -4]/ABS([2, 2, -4])) = [0.5, 0.5, -1]

b)

([1, 1, 1] ⨯ [1, -3, -1])·[1, 0, -1] = 6