DIfferenzierbarkeit von Funktion beweisen: x^2*sin(1/x), x ungleich 0 und 0, x=0.

Question

f: R->R, x->{x²*sin(1/x) x≠0

0,                x=0

Man soll beweisen, dass diese Funktion differenzierter ist. Habe es bereits mit (f(x+h)-f(x)/h) versucht.

Konnte es nur nicht auflösen.

daimaga

Comments

für x ungleich 0 folgt die Differenzierbarkeit nach den einschlägigen Rechenregeln.

Nur für x=0 muss man den Differenzenquotienten ansetzen, wie Du es hingeschrieben hast - und das ist dann ganz einfach.

Answer 1

für x ungleich Null ist alles diffb. nach einschlägigen Regeln
(Produkt, Quot. sin ist diffb und Kettenregel

Extra Untersuchung für x0=0
also (f(o+h) - f(o))/h =   ( h^2 * sin(1/h) ) / h   =    h* sin(1/h)
da        -1   <= sin(1/h)  <= 1
ist auch  -h  <=  h*sin(1/h) <= h
da die rechte und linke Schranke für h gegen Null auch
gegen Null gehen, tut der Wert von   h*sin(1/h)   das auch,
also  f ' (0) = 0

und für x ungleich Null ist
f ' ( x) =  2x* sin(1/x)  +   x^2 * cos(1/x) * -x^{-2} =  2x*sin(1/x) -  cos(1/x)

Comments

Nachfrage :
Dem Punkt  x = 0   kann zunächst keine Steigung zugeordnet werden.
Nun hast du gezegt ( übrigens sehr schön ) :

linker Grenzwert der Steigung ist 0
rechter Grenzwert der Steigung ist 0.

Dann haben wir es mit einer hebbaren Lücke zu tun und die
Steigung ist auch f ´( 0 ) = 0. Ja ?

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@georgborn: Wenn du mit Steigung die Ableitung meinst, dann ist das falsch.
Die Ableitung hat für \(x\to 0\) keinen Grenzwert.
Aber wie dir schon oft gesagt wurde, muss man nicht den Grenzwert der Ableitung berechnen, sondern den Grenzwert des Differenzenquotienten.

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Da wir diese Aufgabe in ähnlicher Form hatten.
- über das normale Ableiten zum Grenzwert der Steigung zu kommen
  ist  in diesem Beispiel nicht möglich.
- über den Differenzenquotienten  zur Steigung zu kommen ist möglich.
  ( wie hier gezeigt )

Über beide Verfahren komme ich doch auf die Steigungsfunktion einer Funktion..
Oder nicht ?

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"über das normale Ableiten zum Grenzwert der Steigung zu kommen ist  in diesem Beispiel nicht möglich. ... Über beide Verfahren komme ich doch auf die Steigungsfunktion einer Funktion.. "
Nein, mit diesem Verfahren kommst du im Allgemeinen nicht zur Steigungs-/Ableitungsfunktion.

Die Ableitung in \(x_0\) ist definiert als \(f'(x_0):=\lim\limits_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\).
Das, was du berechnen willst, nämlich den Grenzwert der Steigung, ist \(\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)=\lim\limits_{x\to x_0}\left(\lim\limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)\).
Und diese beiden Grenzwerte sind erstmal zwei verschiedene Sachen, die übereinstimmen können, aber nicht müssen (wie du hier gesehen hast, kann es auch passieren, dass der eine Grenzwert existiert, während der andere nicht existiert).

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Der Pfiff ist hier, dass die Ableitungsfunktion an der Stelle 0

nicht stetig ist.

Du kannst die Ableitung an  dieser Stelle mit dem Diffquot. bestimmen,

das gibt eben die 0.

Wenn du es als GW von f ' (x) für x gegen 0 machst,

kommt eben nicht 0 raus, das würde es nur, wenn f ' bei x=0 stetig wäre.