lineare Vektoren unabhängig, Linearkombination und Basis der leeren Hülle

Question

a) Wählen Sie aus den Vektoren

x₁ = (1, 3, 1),    x₂ = (2, 6, 2),     x₃ = (2, 10, 4),     x₄ = (0, 2, 1)

eine Basis der linearen Hülle ∑⁴ _{i= 1} ℚx_i ⊂ ℚ³

b) Schreiben Sie den Vektor c = (1, i, −2) ∈ℂ³ als Linearkombination der
Vektoren y₁ = (1, 2, 0), y₂ = (3, 8, 4), y₃ = (1, 4, 7).

c) Sind die Vektoren z₁ = (3, 2, 11), z₂ = (1, 1, 2), z₃ = (9, 8, 6)
 in (F₁₇)³ linear unabhängig?

Na ja, ich verstehe nur Hauptbahnhof... Muss man bei c) irgendwie mit Division mit Rest (Modulo) rechnen?

Comments

Fang doch schon mal an und suche aus den gegebenen 4 drei raus, die

lin. unabh. sind.

Dann hast du a schon erledigt.

Answer 1

a) Es ist x2=2*x1, also kann man x2 für eine Basis weglassen.
außerdem ist 2x1+2x4=x3 also kann man x3 auch weglassen,

und x1, x4 sind lin. unabh., also bilden die die ges. Basis.

b) Ansatz x1*y1+x2*y2+x3*y3=c gibt lin. Gl.syst mit Matrix
1     3      1      1
2     8      4      i
o    4       7      -2
stufenform und ausrechnen gibt
x1=16/3 -(17/6)i    x2=-5/3+(7/6)i    x3=2/3 - (2/3)i

c) a*z1+b*z2+c*z3=0
gibt Matrix
3    1    9
2    1    8
11   2    6 
und wenn du Stufenform herstellen willst, gibt
das bei der Beachtung von "mod 17"  
also immer wenn etwas größer 16
erscheint, nimmst du den Divisionsrest.
3    1    9
0    1    6
0     0   0    
also lin. abh.

Comments

spielt der exponent bei F17 keine rolle ? also ³ ?

---

Der Exponent sagt nur:  Das sind Vektoren mit 3 Komponenten von F17

---

Wie kann man die (a) mit einer Matrix in Zeilen-stufen-form lösen?

---

@Student123:

Soweit ich das richtig verstanden habe, müsste man die Vektoren als Zeilenvektoren in die Matrix packen, und dann Gauss anwenden. Dadurch werden die redundanten Vektoren zu Nullzeilen. Wäre aber gut wenn jemand noch etwas dazu sagen könnte...

---

Wie kommst du bei der b von der zeilen-stufen-form auf dein ergebnis der x-werte? Ich kriege immer was anderes raus :(

---

3*X₃ = 2 - 2i

X₃ = (2-2i) / 3

Dann den Wert von X₃ in der 2. Gleichung einsetzen und X₂ auflösen. Danach beide Lösungen in der ersten Gleichung substituieren und X₁ auflösen.