Bestimmen Sie b so, dass sich die Population nach jeweils drei Zeitschritten verdoppelt.

Question

Eine Populationsentwicklung wird durch

0     0     20

U=        0,25  0      0        mit 0 < b <= 1 beschrieben.

,               0      b      0

a) Bestimmen Sie b so, dass die Population sich zyklisch entwickelt. Begründen Sie dies anhand einer Potenz von U

b) Bestimmen Sie b so, dass sich die Population nach jeweils drei Zeitschritten verdoppelt.

c)Zeichnen Sie für die Startpopulation E= 90 Eier, L= 45 Larven und K= 10 Käfer den Graphen für die zeitliche Entwicklung von E. Die Punkte zum 3., 6., 9. Zeitschritt usw. von E liegen auf dem Graphen einer Funktion f. Geben Sie die Gleichung von f an.

Lösungsansatz:

zu a) Ich weiß, dass a*b*v = 1,wenn die Population sich zyklisch entwickelt. Auf diese Weise bestimme ich b.

Wie kann ich dies  anhand einer Potenz von U begründen?

zu b) Von welche Population ?

zu c) Ich habe keine Ahnung wie die Funktion aussieht.

für die Unterstützung. Ich wäre euch dankbar, wenn Ihr mir ausführlich erklärt.

Frohes Neues Jahr wünsche ich allen

Total Durcheinander

Answer 1

Hi,
zu (a)

Damit sich die Population zyklisch entwickeln kann, muss es eine Potenz der Übergangsmatrix \( U = \begin{pmatrix}  0 & 0 & 20 \\ \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & b & 0  \end{pmatrix} \) geben und einen Wert für b, s.d. gilt
$$ U(b)^k = \begin{pmatrix}  1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{pmatrix} $$
Denn dann beginnt die Entwicklung wieder von vorne. Berechne \( U(b)^3 \) und Du siehst das gilt
$$ U(b)^3=\begin{pmatrix}  5b & 0 & 0 \\ 0 & 5b & 0 \\ 0 & 0 & 5b  \end{pmatrix} $$
Also muss \( b = \frac{1}{5} \) gelten.

Zu (b)
Nach drei Zeitschritten hat sich eine beliebige Population \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) wie folgt entwickelt
$$ U(b)^3 \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5bx\\5by\\5bz \end{pmatrix} $$
Damit sich die Population nach drei Zeitschritten verdoppelt muss also gelten \( 5b=2 \)

Comments

Zu (c)
Wenn man sich die zeitliche Entwicklung der Eier für die Schritte 0, 3, 6, 9 und 12 anschaut, ergibt sich folgende Entwicklung
$$ \text{Schritt 0:} \quad 90 $$
$$ \text{Schritt 3:} \quad 450 \cdot b $$
$$ \text{Schritt 6:} \quad 2250 \cdot b^2 $$
$$ \text{Schritt 9:} \quad 11250 \cdot b^3 $$
Damit ergibt sich eine Steigerung von \( 5b \) von Schritt zu Schritt.
Die zeitliche Entwicklung sieht dann so aus
$$ x_n=(5 b)^\frac{n}{3}\cdot 90 $$