Eine Fläche wird in der xy-Ebene durch zwei Kurven begrenzt. Skizze der Kurven und Integral über √(x^2 + y^2)?

Question

Aufgabe (Doppelintegrale in Polarkoordianten):

Eine Fläche \( \Omega \) wird in der xy-Ebene durch die Kurven \( x^{2}+y^{2}=4 \) und \( x^{2}+y^{2}=9 \) begrenzt. Skizzieren Sie die Kurven und kennzeichnen Sie die Fläche \( \Omega \) durch schraffieren.

Berechnen Sie \( \iint_{\Omega} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y \)

Ansatz/Problem:

Ich habe schon eine Zeichnung mit einem Grafik-Programm erstellt aber sonst klappt nichts mehr.

Comments

√(x^2 + y^2) = r          | ( Pythagoras)

Rechne nun

∫ ∫ r * r dr dφ  = ∫ ∫ r^2 dr dφ      : Grenzen r von 2 bis 3 und φ von 0 bis 2π.

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Danke, ich habe es gerechnet aber ich bin mir nicht sicher :)

\( r = \sqrt{x^2 + y^2} \)

\( \int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{2}^{3} r^2 ~ dr ~ dy \)

\( \int \limits_{0}^{2 \pi} \phantom{\int \limits}_{2}^{3}[ \frac{1}{3} r^{3} ] d y=\int \limits_{0}^{2 \pi}\left(\frac{1}{3} \cdot 3^{3}\right)-\left(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}\right) d \varphi \)

\( =\int \limits_{0}^{2 \pi} \frac{19}{3} d y=\left[\begin{array}{l}2 \pi & \left.\frac{19}{3} y\right] & =\frac{19}{3} \cdot 2 \pi \\ & =36 n\end{array}\right. \)

\( =\frac{38}{3} \pi \)

\( \approx 39,794 \)

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Scheint mir ok. Habe es allerdings nicht in den Taschenrechner eingegeben.

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Danke das Anfangsintegral stimmt hoffentlich. Dann sollte die komplette Rechnung stimmen habe es mehrmals geprüft :)

Answer 1

Ich hoffe auch, dass der von mir vorgeschlagene Anfang stimmte.

Hier nochmals:

"

√(x² + y²) = r          | ( Pythagoras)

Rechne nun

∫ ∫ r * r dr dφ  = ∫ ∫ r² dr dφ      : Grenzen r von 2 bis 3 und φ von 0 bis 2π. "