Stammfunktion einer 2 hoch x² -Funktion

Question

für ein mathematisches Problem brauche ich die Stammfunktion der Stammfunktion der Funktion unten, aber wenn ihr mir bei der ersten Stammfunktion helfen könntet, wäre das auch echt super. Ich halte dieses Problem für extrem schwierig.

f(x) = (x-1) * 2^{-x^2} 

Answer 1

Diese Funktion besitzt keine elementare Stammfunktion.

Indem man sie ausmultipliziert, erhält man:

f(x) = x*2^-x² - 2^-x²

Verwendet man jetzt noch die Logarithmenregeln, folgt

f(x) = x*e^{-ln(2) x²} - e^{-ln(2) x²} = g(x) + h(x)

Der erste Summand besitzt eine Stammfunktion, nämlich

G(x) = e^{-ln(2) x²}/(2 ln(2))

G(x) = 2^-x²/(2 ln(2))

Der zweite Summand ist aber mit der Substitution

z = √(ln(2)) x

äquivalent zu

h(z) = e^-z²

dem klassischen Beispiel einer Funktion, die zwar integrierbar ist, aber keine Stammfunktion besitzt, die sich als Superposition elementarer Funktionen schreiben lässt.

Man definiert

$$ \operatorname { erf } ( x ) = \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } \int _ { 0 } ^ { x } e ^ { - t ^ { 2 } } d t $$

die sogenannte Errorfunktion.

Das wird dir aber kaum weiterhelfen.

Was ist denn dein mathematisches Problem? Vielleicht gibt es einen anderen Weg zum Ziel.

Comments

Ich habe unter den Kommentar von Der_Mathecoach mein eigentliches Problem geschildert. Kannst du mir da weiterhelfen?

Answer 2

f(x) = (x - 1)·2^ (- x^ 2)

f(x) = (x - 1)·e^ ln(2^ (- x^ 2))

f(x) = (x - 1)·e^{(- x^2)·ln(2)}

f '(x) = 1·e^{(- x^2)·ln(2)} + (x - 1)·e^{(- x^2)·ln(2)}·(- 2·x)·ln(2)

f '(x) = e^{(- x^2)·ln(2)}·(1 + (x - 1)·(- 2·x)·ln(2))

f '(x) = e^{(- x^2)·ln(2)}·(1 + 2·x·ln(2) - 2·x^2·ln(2))

f '(x) = 2^ (- x^ 2)·(1 + 2·x·ln(2) - 2·x^2·ln(2))

Comments

Sorry. Hab die Ableitung gemacht anstatt einer Stammfunktion.

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Ich suche eine Funktion, die gegen Minus-Unendlich gegen 0 geht und gegen Plus-Unendlich gegen x geht, also, wenn man 1000 für x einsetzt sollte sowas wie 999,995 für y rauskommen. wichtig ist, das es nicht über den x Wert hinausschießt, also nicht 1000,001. Meine Funktion darf keine Polstellen und keine Nullstellen haben. Der Graph hat die x-Achse als waagerechte Asymptote und die Funktion g(x) = - x als schräge Asymptote. Der Graph schneidet diese Asymptote einmal, vorerst ist es egal wo. Wenn ihr dieses Problem mit einer Funktion lösen könntet wäre das unfassbar gut, jedoch halte ich dieses Problem, wie schon gesagt für extrem schwierig. Denn, einfach ist diese Funktion nicht. Die Funktion, die ich oben hingeschrieben habe, wäre die zweite Ableitung der gesuchten Funktion. Danke, wenn ihr mir da weiterhelfen könntet.

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Also sowas ähnliches wie folgende Funktion:

f(x) = e^x·ln(e^x + 1)/(e^x + 1)

f'(x) = e^x·(e^x + ln(e^x + 1))/(e^x + 1)^2

 

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Ja genau, danke. Wie bist du auf diese Funktion gekommen? Vielen Dank

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Ich habe überlegt welche Funktionen dieser ähnlich ist.

Ich wusste das ln(e^x + 1) schon fast das gewünschte Verhalten zeigt, sich aber rechts von oben an die Achse annähert.

Was lag da näher, diese Funktion mit einem logistischen Wachstum zu multiplizieren. Und zwar ein Wachstum was sich rechts der 1 nähert.

Das ganze gibt zusammen meine Funktion.

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Danke, das ist echt richtig gut von dir gelöst, da wäre ich nie draufgekommen. Ich bräuchte zudem noch eine weitere Funktion, wenn du mir da auch noch weiterhelfen könntest, dann wäre das echt super.

Ich brauche eine Funktion, die sich komplett unter der x-Achse befindet. Der Graph geht im Plus-Unendlich gegen 0. Seine größte Steigung hat der Graph bei einem x-Wert um 0 herum. Die Funktion geht im Minus-Unendlich gegen Minus-Unendlich, jedoch nur sehr langsam. Im Minus-Unendlich hat die Funktion somit eine relativ geringe Steigung. Der Graph ist monoton steigend. Wenn mann -200 für x einsetzt, sollte ein Wert von ungefähr 14-15 rauskommen.