Am besten machst du dir eine Skizze. Zeichne eine Kurve, die einige Extrema hat, die nicht springt und und keine Ecken aufweist. - Ein typischer Graph von einem Polynom.
Nun kannst du die Extrempunkte von Auge gut erkennen. Markiere sie und Zeichne durch sie eine kurze horizontale Strecke. Diese Strecken sollen so kurz sein, dass sie die Kurve nicht schneiden.
Man nennt nun die Geraden, auf denen diese Strecken liegen, horizontale Tangenten an die Kurve. Sie haben alle die Steigung 0. In den Extrempunkten berühren sie die Kurve. Die Kurve hat dort momentan auch die Steigung 0.
Deshalb kann man die erst Ableitung 0 setzen um die Extremalstellen zu berechnen.
Eine Art Fortsetzung zu dieser Argumentation findest du in meiner Antwort hier:
https://www.mathelounge.de/19477/findet-heraus-extrempunkten-einen-hoch-tiefpunkt-handelt?show=19482#a19482
