Inhalt der Fläche=2 wie?

Question

Ich hab hier diese Aufgabe: Fur welchen Wert des Parameters a>0 (a Element R) hat die vom Graphen der Funktion f(x)=-a(x²-1) und der x-Achse eingeschlossene äche den Inhalt 2?

Ich hab jetzt schonmal die Funktion mit F(x) aufgestellt, ausmultipliziert und integriert, aber jetzt weis ich nicht genau wie ich weiter kommen soll. Bei mir steht jetzt F(x)=-⅓ax³+ax=2. Hab gedacht, dass ich das vielleicht lieber gleich 0 setzen sollte, damit ich dann das x ausklammern kann. Dann wäre x1 =0 und vielleicht konnte ich dann mit sder pq-Formel weitermachen, um die Grenzen,also den Intervall zu bekommen?

Answer 1

Rein mathematisch

Schnittpunkte der Funktion mit der x - Achse : y = 0

f ( x ) = -a * ( x² -1 )
-a * ( x² -1 ) = 0
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens 1 der Faktoren 0 ist.
x^2 - 1 = 0
x^2 = 1
x = + 1
x = - 1
N ( - 1  | 0 ) 
N ( + 1 | 0 )

Stammfunktion bilden
f ( x ) = -a * ( x² -1 )
s ( x ) = -a* ( x^3 /3 - x )
Integralfunktion
[ -a * ( x^3 /3 - x ) ]_-1¹
-a vorziehen
-a * [ x^3 /3 - x ]_-1¹
-a * [1^3/ 3 - 1 - ( (-1)^3 / 3 - (- 1) ) ]
-a * [ 1/3 - 1 + 1/3 - 1 ]
-a * ( - 4 /3 )
4 / 3 a
Soll 2 sein
4 / 3 * a = 2
a =  3 / 2



Der Vollständigkeit halber sei erwähnt das eine Lösung
a = - 3 / 2 die Parabel noch oben umdrehen würde und
die Fläche ( absolut ) dieselbe wäre.

Es gibt also 2 Lösungen.

mfg Georg

Comments

Also muss ich bei der Bildung von der Stammfunktion gar nicht ausmultiplizieren?

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Georg hatte da eine Klammer:

-a* ( x³ /3 - x ) =  -ax^3 / 3 + ax 

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Geht mit oder ohne Ausmultiplizieren.

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OMG ICH HABS :DDD ! Ich steh manchmal voll AIF dem schlauch haha ist halt mathe..ich schreib am montag die klausur

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Ich kann nur den letzten teil mit den zwei losungen nicht verstehen,  warum das da zwei losungen geben soll. Ich bekomm da -2 raus und Vorzeichen umtauschen oder so hilft auch nicht

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Es gibt zwei Lösungen, weil das Integral =2 oder = -2 sein kann.

In beiden Fällen ist die Flächenmaßzahl = 2.

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Die angegebene  Integralfunktion
[ -a * ( x³ /3 - x ) ]_-1¹  = 2
ergibt a =  3 / 2.

Sowohl bei 2 als Ergebnis eines Integrals auch bei -2
ist die Fläche 2.
Fläche = | Integral | oder abs ( Integral )

Ganz richtig wäre es gewesen oben zu schreiben
abs ( [ -a * ( x³ /3 - x ) ]_-1¹  ) = 2

Noch ein Beispiel : du hast 2 Funktionen f ( x ) und g ( x ).
f ( x ) verläuft oberhalb g ( x )
Jetzt kannst du die Differenzfunktion bilden als
f ( x ) - g ( x ) oder
g ( x ) - f ( x )

Die Integralfunktion ergibt im 1.Fall einen positiven Wert;
im 2.Fall einen negativen Wert.
Die Fläche zwischen den Funktionen ist aber immer dieselbe
und positiv.

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okay,, hab die Aufgabe jetzt fertig,hab schonwieder Probleme mit der nächsten ahaha ich will nicht mehr

Answer 2

Die Fläche soll ja vom Graphen von f(x) und der x-Achse eingeschlossen werden. f(x) beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel welche die y-Achse in a schneidet (mach Dir das klar). Da a aber > 0  muss f also zwei reelle Nullstellen (±1) haben. Die gesuchte Fläche beginnt also bei der linken dieser Nullstellen und geht bis zur rechten Nullstelle. Die beiden Nullstellen bilden also das Intervall für ein bestimmtes Integral:

 $$ 2= \int_{-1}^{1}-a(x^2 -1) \quad dx = -a\int_{-1}^{1} x^2-1\quad  dx = \frac{4}{3}a$$

Es ist also 2= (4/3)a und a ist somit 3/2.

Comments

Wie bist du denn auf die Grenzen gekommen?

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In dem ich die Nullstellen von f(x) berechnet habe:

0=-a(x^2-1)  ; da a>0 kann nur der Klammer-Term Null werden

0=x^2-1 -> x^2=1 -> x=±1

Answer 3

Die eingeschlossene Fläche mit der x-Achse...
Das ist doch grade die Fläche zwischen den beiden Nullstellen der Funktion.
Die Nullstellen 1 und -1 kannst du ja ganz einfach ablesen.
Damit hast du deine Integrationsgrenzen.
Also berechnest du das Integral von -1 bis 1 von F(x)
F(x) hast du ja bereits.Das genannte Integrall soll jetzt = 2 sein.
Schreibe das Integral einfach in der Form " Obere Grenze  minus Untere Grenze" und setze dies gleich 2.
Dann einfach nach a auflösen.

Comments

Das Problem ist ja, dass ich garkeine Zeichnung hab,wie soll ich denn darauf kommen? Ich kann das doch wegen dem a nicht zeichnen