Monotonie von Folgen zeigen Problem bei verständnis

Question

Gegeben sind folgende 2 Reihen: $$<a_n>=<\frac{1}{n+1}$$ und: $$<b_n>=<\frac{n^2}{2n-2}$$ gezeigt werden soll, ob a_n streng monoton fallend ist und b_n monoton steigend ist. so bin ich vorgegangen:

$$a_{n+1} < a_n$$ $$\frac{1}{(n+1)+1}<\frac{1}{n+1}$$ $$n+1<n+2$$ $$0 < (n+2)-(n+1)$$ $$0< 1$$ was bedeutet das wenn in dieser ungleichung die variable entfällt bzw. sich rauskürzt? die behauptung ist ja schließlich nicht direkt widerlegt, sondern 0 ist kleiner 1 stimmt ja, aber ich weiß nicht welchen schluss ich daraus nun letztendlich mathematisch ziehen kann.
nun zu b_n $$b_{n+1}≥b_n$$ $$ \frac{(n+1)^2}{2(n+1)-2} ≥ \frac{n^2}{2n-2} $$ $$(2n-2)(n+1)^2≥n^2[2(n+1)-2]$$ $$(2n-2(n^2+2n+1)≥n^2[2n+2-2]$$ $$2n^3+4n^2+2n-2n^2-4n-2≥2n^3$$ $$2n^2-2n-2≥0$$ hier würde ich sagen, dass die folge monoton steigend ist, aber ich muss ehrlich sagen, dass ich es nur vermute :D könnte nicht sagen weswegen das so ist. habe hier mein ergebnis aber weiß nicht was ich daraus interpretieren soll. Hier ein Bild zu b_n,, da TEX bei mir nicht mehr vernünftig angezeigt wurde, falls der fehler auch bei euch vorkommen sollte. \( a_{n+1} \geq a_{n} \)

Answer 1

du hast die 1. Folge zwar ein wenig umständlich umgeformt aber im Grunde kannst du das so sehen:

Zwischen jeder Ungleichung in deiner Umformung kann ein genau dann wenn (also ein Äquivalenzzeichen) stehen (überleg dir selbst wieso). Am Ende hast du eine wahre Ungleichung also ist deine Anfangsbehauptung auch wahr.

Zur 2. Ungleichung: Hier bist du noch nicht fertig. Du musst am Ende noch zeigen, dass deine letzte Ungleichung für alle \(n\geq 2 \) gilt.

Gruß

Comments

hätte wahrscheinlich bei der ersten folge einfach den kehrwert nehmen können, richtig?

bei der zweiten folge würde ich sagen, dass der nenner nicht null werden darf und sonst sehe ich hier eig. nichts großartig mehr :\

habe ein paar sachen versucht aber nix hat geklappt, bin eig. noch recht neu was folgen betrifft, bin nicht im studium sondern hole sachen die ich im abi nicht gerafft habe bzw. nicht hatte nochmal nach um auf ein zukünftiges studium vorzubereiten.

Ich habe auch leider keine vermutung mehr woran ich das zeigen könnte, dass es für alle n≥2 gilt.

und leider verstehe ich deinen satz mit der ungleichung nicht ganz, zwischen jeder Ungleichung meiner umformung kann ein (was?) genau dann wenn (was?) stehen?

also so wie ich das bis jetzt verstanden habe, habe ich immer die monotonie gezeigt, wenn ich in der reihe zeigen kann das es für alle n+1 auch gilt und wenn die ungleichung die dabei am ende rauskommt stimmt, unabhängig davon ob eine variable  enthält oder nicht. ist das richtig so?
und wie gesagt ich hab keine ahnung woran ich zeigen soll das es für alle n≥2 gilt

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Ja mit dem Kehrwert wärst du schon fast fertig gewesen.

Ah gut das du was zu deiner Situation gesagt hast, dann lass mich doch anders argumentieren:

Jede Ungleichung ist eine Aussage. "Genau dann wenn" bedeutet bei einer Umformung, dass die eine Ungleichung genau dann stimmt wenn die andere stimmt. Dies schreibt man mit dem Äquivalenzzeichen \(\Leftrightarrow\) .

Bei a) du untersuchst ja ob \( a_{n+1} < a_n \) für alle \(n\) gegeben ist. Dies bedeutet ja: "Jedes aufeinanderfolgende Folgenglied ist kleiner als das vorherige" (Bedeutung von streng monoton fallend). Durch äquivalentes umformen hast du am Ende die Ungleichung \( 0 < 1 \) die ja richtig ist. Somit ist deine Anfangsbehauptung auch richtig :)

Zu b) Mach doch da weiter wo du aufgehört hast, deine bisherige Argumentation entspricht nicht einem Beweis sondern kann nur als "raten" interpretiert werden.

\( 2n^2 - 2n - 2\geq 0 \Leftrightarrow n^2-n-2 \geq 0 \Leftrightarrow (n+1)(n-2) \geq 0\)

Wenn \(n \geq 2 \) ist, dann sind beide Faktoren auf der linken Seite positiv und das Produkt ist tatsächlich größer als 0. Das heißt unsere letzte Ungleichung ist wahr. Damit ist auch die erste Ungleichung (die zu beweisende Behauptung) auch wahr.

Hoffe das hilft dir weiter, wenn nicht dann versuch präzise Rückfragen zu stellen :)

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also wäre die erste teilaufgabe somit komplett gelöst wie ich es gemacht habe weil ich kein n definieren muss da keins mehr vorhanden ist?
und bei b würde ich jetzt einfach sozusagen die zahlen 1,2,3,4.... einsetzen um zu prüfen ab wo die aussage nicht mehr stimmt?

also würde ich z.b. jetzt einfach einsetzen

(n+1)(n-2)≥0

(1+1)(1-2)≥0

2*-1≥0 aussage stimmmt nicht!

(2+1)(2-2)≥0

0≥0 aussage stimmt! für n≥2 gilt daher, dass die aussage der ungleichung immer stimmt?

so habe cih das jetzt aufgefasst, hoffe ich habe dazu gelernt :D

danke für deine antworten :)

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Nicht ganz. Wenn du dir b anschaust dann siehst du ja, dass der Fall n = 1 gar nicht definiert ist. Deswegen wird die Aussage für \( n \geq 2 \) geprüft. Und warum die Aussage stimmt habe ich dir ja schon geschrieben.

In diesen Aufgaben musst du auch kein n definieren deswegen kann ich deinem ersten Satz nicht viel abgewinnen.

Kein Problem :) mit weiterer Übung kommt bestimmt auch mehr Verständnis dazu.

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achja da habe ich gar nicht mehr dran gedacht, dass ich den nenner nicht null werden lassen darf :D
aber werte auszuprobieren ist schon der richtige weg oder wie sieht das aus?

ich hoffe doch :D

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Ne für einen direkten Beweis sind logische Folgerungen der richtige Weg. Werte auszuprobieren kann aber am Anfang nützlich sein um Vermutungen aufzustellen.

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was genau ist denn der unterschied zwischen einem beweis und dem "zeigen"?

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Mit einem Beweis kannst du zeigen, dass eine Behauptung richtig ist. :D

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wenn in der aufgabenstellung ein "zeige dass..." steht oder wenn da steht "beweise..." dann ist das doch was anderes oder nicht?

also so wie ich das denke, zeigt man bei einem beweis, dass das nicht einfach irgendwie bestimmt wurde, sondern das es anhand von formeln "bewiesen" werden kann, dass ein zusammenhang zwischen anderen formeln etc. besteht und eine neue dadurch zustande kommt. Kann natürlich auch falsch sein meine vermutung, nur ich hatte noch nie wirklich mit beweisen zu tun außer vielleicht das ein oder andere additionstheorem.

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Nö, das ist dasselbe. Wenn in der Aufgabe steht "zeige...." dann wird nach einem Beweis gefragt. Ein Beweis muss nicht unbedingt aus Formeln bestehen. Viel eher gewinnt man solche Formeln erst aus dem Beweis in dem sie entstehen.

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also hast du um es zu beweisen Faktorisiert und einfach logisch bestimmt, dass alle Faktoren größer als 0 sein müssen damit das Produkt größer 0 ist und die Ungleichung stimmt?

hier war das n-2=0 zu setzen und dann nach n umzuformen damit man den wert, den n überschreiten muss, herausfindet? also n-2 wurde gewählt weil ersichtlich ist das dieser Faktor eher null wird als der andere.?

oder fängt man wirklich systematisch bei 1 an und arbeitet sich dann schritt für schritt voran? also weil ja hier bei 1 der nenner 0 wird, deswegen wurde sich die 2 vorgeknöpft und da scheint es ja keine probleme zu geben, also ich wüsste jetzt nicht sicher wie ich das beweisen kann, dass n≥2 sein soll. das wären meine vermutungen :D

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Die Bedingung \( n \geq 2 \) war ja schon zu Beginn klar wegen der Nullstelle des Nenners. Deswegen ist die Folge ja erst ab da definiert. Ziel ist es die Aussage für alle \(n \in \mathbb{N} \) zu zeigen, für die die Folge definiert ist . Schau dir noch mal meine Kommentare dazu an. Da diese Bedingung da war kann man im nachhinein argumentieren, dass \( n-2 \geq 0 \) sowieso gilt.