Vereinfachen Sie die Terme

Question

wie kommt man auf dieses Ergebnis bei folgender Aufgabe:

$$ \frac { { { \left( 6^{ 3 } \right)  } }^{ 3 }\left( 8^{ 4 } \right) ^{ 2 } }{ 12 ^{ 12 }}   =  \frac { { 2 }^{ 9 } }{ 3^{ 3 } } $$

Ich habe zuerst den Term vereinfacht:

$$ \frac { { {  6^{ 9 }  }* }8^{ 8 }  }{ 12^{ 12 } } =\frac { { 512 } }{ 27 }  $$

dann habe ich es mit Logarithmieren versucht.

$$ \log _{ 2 }{ 512 } =9 $$

$$ \log _{ 3 }{ 27 } =3 $$

$$ \frac { { 512 } }{ 27 }  =  \frac { {2  }^{ 9 } }{ { 3 }^{ 3 } }  $$

Gibt es einen kürzen Weg um auf das Ergebnis zu kommen?

Danke und Gruß

Answer 1

Hi,

wenn Du so etwas wie oben vorliegen hast, solltest Du alles in eine (oder so wenig wie möglich (hier zwei)) Basis/Basen schreiben.

So war es wohl zumindest angedacht. Allerdings kann ich eine gewisse Eleganz Deines Rechenwegs auch nicht absprechen!^^

$$\frac { { { \left( 6^{ 3 } \right)  } }^{ 3 }\left( 8^{ 4 } \right) ^{ 2 } }{ 12 ^{ 12 }}   $$
$$\frac{((2\cdot3)^3)^3\cdot((2^3)^4)^2}{(3\cdot2^2)^{12}}$$
$$\frac{(2\cdot3)^9\cdot(2^{12})^2}{3^{12}2^{24}}$$
$$\frac{2^9\cdot3^9\cdot2^{24}}{3^{12}2^{24}}$$
Jetzt munter Potenzgesetze anwenden bzw. kürzen
$$=  \frac { { 2 }^{ 9 } }{ 3^{ 3 } }$$

Grüße

P.S.: Mein Weg mag länger erscheinen, liegt aber nur daran, dass ich kleinschrittig rechne. Ich muss aber nicht Potenzen ausrechnen (was Arbeit mit großen Zahlen erspart) und hätte man auch in weniger Zeilen hinbekommen ;)).

Comments

da hast du Recht! Meinen Rechenweg konnte ich auch nur mit dem Taschenrechner lösen :)

Du hast mir mit deinem Rechenweg sehr geholfen.

Danke und Gruß

Answer 2

( 6^9 * 8^8 )
2^9 * 3^9 * 2^8 * 2^8 * 2^8
2^33 * 3^9

12^2
2^12 * 2^12 * 3^12
2^24 * 3^12

( 2^33 * 3^9 ) / ( 2^24 * 3^12 )
2^9 / 3^3