Ermitteln Sie die Gleichung der Tangenten an f(x) = - 2x^2 durch P(1|6)

Question

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangenten an den Graphen der Funktion f(x) = -2x², die durch den Punkt A(1|6) gehen.

Mein Rechenweg und Tangentengleichungen, die in der Arbeit als falsch angestrichen wurden:

x=1   f(1)=-2*1²   y=-2

f´(x)=4x   m=4

-2=4+n  n=-6

y=4x-6

Ich weiß aber nicht wo mein Fehler liegt

Answer 1

Hi,

Du behauptest, eine Tangente an den Graphen f(x) an der Stelle x=1 anlegen zu wollen.
Das ist aber nicht möglich, da die Tangente durch den Punkt A gehen soll und der y-Wert ist 6 und nicht etwa -2. Du brauchst also eine Tangente, welche sich an den Graphen f(x) anschmiegt und sogleich aber auch durch den Punkt A geht.

Wir wissen also, dass unsere Tangente die Form t(x)=mx+b hat.

Wir wissen ebenfalls, dass die Steigung unserer Tangente m, mit der Steigung an einer bestimmten Stelle des Graphen f(x) übereinstimmen muss.

f'(x₀)=m

Außerdem gilt wegen A: 6=m+b -> b=6-m

Eine Tangente berührt natürlich auch den Graphen, also t(x₀)=f(x₀)

-2x²=mx+b

-2x²=f'(x)*x+6-f'(x)

-2x²=-4x²+6+4x       |+4x²-4x-6

2x²-4x-6=0

 

Nun pq-Formel oder Mitternachtsformel:

x₁=-1  und x₂=3

 

Demnach gibt es zwei Tangenten. 

t₁: m=f'(-1)=4 und y(-1)=f(-1)=-2

y=mx+b

-2=4*(-1)+b

b=2

Die Tangente lautet also t₁=4x+2

 

Das gleich mit t₂:

t₂: m=f'(3)=-12  y(3)=f(3)=-18

-18=-12*3+b

b=18

Die Tangente lautet also t₂=-12x+18

 

 

Comments

Noch en Schaubild zum Veranschaulichen:

 

Also richtig gerechnet ;).

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einiges kann ich nicht nachvollziehen also  geg. ist x=1 und y=6 deswegen 6= 4*1+n   n=2  und f´(x)=4x weil (-2)*(-2)= 4 und nicht -4 warum dann -2x²=-4x²+6+4x und nicht -2x²=4x²+6-4x

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Sry war eine Weile weg.

 

Wo bist Du denn gerade? Die Information x=1 und y=6 brauchen wir für die Tangente, da wir wissen, dass der Punkt A enthalten ist. m hatten wir da noch gar nicht. m war vorerst mal f'(x)=m. Die Berührstelle, die uns dann letztlich interessiert ist bei x=-1 zu finden (siehe obige Rechnung). Nur deshalb ist m=4 (und nicht etwa m=-4).

 

Klar? ;)

Answer 2

Der Fehler liegt bei der Ableitungsfunktion:

Aus f(x) = -2x² folgt

f'(x) = -4x

Also lautet die Steigung m = -4, damit ist auch der für n ermittelte Wert falsch.

 

Die richtige Lösung lautet dann y = -4x + 2

Comments

Deine Tangente geht nicht durch A.

 

Auch fehlt Dir die zweite Tangente wie mir scheint?

 

Grüße

Answer 3

Wenn du dich an die Theorie zu den quadratischen Gleichungen erinnern kannst, brauchst du hier eigentlich keine Ableitung. Skizziere y = -2x^2 und zeichne A(1/6) im Koordinatensystem ein.

Wichtig: A(1/6) liegt nicht auf dem Graphen von y = - 2x^2. Dieser verläuft durch P(1/-2).

Tangenten sind hier Geraden, die mit der Parabel genau einen Punkt gemeinsam haben und nicht parallel zur y-Achse verlaufen.

Ansatz Tangente: Einfachste Form der Geradengleichung: y = mx + q

A einsetzen

6 = m + q

6-m = q in Ansatz für Tangente einsetzen

y = mx + 6 - m

Jetzt Gerade mit Parabel schneiden und verlangen, dass genau ein Schnittpunkt vorhanden ist.

-2x^2 = mx + 6 - m

0 = 2x^2 + mx + 6-m

Das ist eine quadr. Gleichung für x. (a=2, b=m und c = 6-m

x interessiert aber nicht. Wichtig ist nur: genau ein x. Deshalb in der abc- Formel Term unter der Wurzel =0 setzen.

0 = b^2 - 4ac = m^2 - 8(6-m) = m^2 + 8m - 48

nochmals abc-Formel

m_1,2 = 1/2 ( - 8 ±√(64 + 192)) = 1/2 (-8 ± 16)

m₁ = 4, q₁ = 2, t₁:  y = 4x +2

m₂ = -12, q₂ = 6 + 12 = 18, t₂: y = -12x + 18

Kontrolle: Skizze und Resultat von Unknown

Answer 4

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangenten an den Graphen der Funktion \(f(x) = -2x^2\), die durch den Punkt \(A(\blue{1}|\red{6})\) gehen.

\(f'(x) = \green{-4x}\)

Berührpunkte sind:

\(B(x| -2x^2)\)

\(\frac{\red{6}+2x^2}{\blue{1}-x}=\green{-4x}\)

\(x_1=-1\)      \(f(-1) = -2\)

\(x_2=3\)     \(f(3) =-18\)

\( \frac{y-6}{x-1}=\frac{-2-6}{-1-1}=4 \)

1. Tangente:

\( y=4x+2 \)

Analog die 2. Tangente ausrechnen.

Comments

https://abiturma.de/mathe-lernen/analysis/tangenten/tangente-durch-fernpunkt

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Schön, dass diese Aufgabe nochmal gelöst worden ist.