Ist der Vektor vom gewählten Koordinatensystem unabhängig?

Question

Aus JulianMis Antwort: "ein Vektor ist eigentlich ein Objekt, das vom gewählten Koordinatensystem unabhängig ist."

Das habe ich auch gedacht, aber eigentlich sind doch Betrag und Richtung vom Koordinatensystem abhängig, denn nur durch das Koordinatensystem können wir dem Vektor seine beiden "korrekten" Komponenten (das Zahlentupel, x und y) zuweisen.

Nimm z. B. den Vektor (-3, 2)^T und zeichne ihn in ein kartesisches Koordinatensystem. Jetzt dreh das Koordinatensystem um 40°, die Komponenten (-3, 2)^T sind doch jetzt nicht mehr richtig...

Oder muss ich jetzt die x- und y-Komponente entsprechend um 40° mitdrehen? Dann würde es mit (-3, 2)^T ja stimmen. Mhh...

Answer 1

Deine zweite Schlussfolgerung ist richtig.

Man betrachtet den Vektor als unabhängig vom Koordinatensystem.
Insbesondere spricht man dem Vektor auch eine Existenz ohne Festlegung eines Koordinatensystems zu.

In der Schule wird das nur selten angesprochen, aber in der Mathematik sind Vektoren als Elemente eines Vektorraumes definiert, also als Objekte, die man addieren und mit einem sogenannten Skalar (einer Zahl) malnehmen kann.

Nach dieser Definition kann man zum Beispiel auch den Vektorraum der Funktionen betrachten: Funktionen lassen sich addieren (indem man sie punktweise addiert, also (f+g)(x) = f(x) + g(x)) und mit einem Skalar malnehmen, (indem man punktweise mit einem Skalar malnimmt, also (cf)(x) = c*f(x)).

Nun kann man Funktionen aber natürlich nicht in ein Koordinatensystem eintragen!

Eine einfacherer Vektorraum ist der Raum der Polynome: sie besitzen zumindest eine abzählbar unendliche Basis, nämlich

{1, x, x², x³, ...}

Schrenkt man auch noch den Grad des Polynoms ein, zum Beispiel auf 2, dann lässt sich sogar eine Koordinatendarstellung angeben:

Vereinbart man die Basis {1, x, x²} so entspricht die Funktion f(x) = 2x + 3 zum Beispiel dem Koordinatenvektor (3, 2, 0)^T.

Comments

Wenn man Vektoren in der Schule behandelt, spricht man eigentlich fast nur über 'Pfeile' bzw. 'Verschiebungen im Raum'.

Sie erfüllen offensichtlich die Bedingungen für einen Vektorraum, wenn man als Addition das Hintereinanderhängen (bzw. Hintereinanderausführen) und als Skalierung die geometrische Skalierung der Pfeile betrachtet.

Das heißt, Pfeile sind Vektoren, aber längst nicht alle Vektoren sind Pfeile!

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Mir fällt gerade auf, dass der Satz

Nun kann man Funktionen aber nicht in ein Koordinatensystem eintragen!

etwas missverständlich ist.

Was ich damit meine: es gibt keine endliche Basis, nach der man eine Funktion entwickeln kann.
Das heißt, es gibt kein Koordinatensystem, indem alle Funktionen genau einem Punkt entsprechen.

Im direkten Vergleich mit dem letzten Beispiel des Originalbeitrags sieht man, dass es für den 'Vektorraum der Polynome höchstens 2. Grades' ein solches Koordinatensystem gibt, nämlich ein dreidimensionales, dessen Achsen 1, x und x² sind: 
Jeder Punkt in diesem Koordinatensystem entspricht genau einem Polynom zweiten Grades (oder niedriger). 

Insbesondere ist zum Beispiel der Vektorraum der Polynome ersten Grades (oder niedriger) ein Untervektorraum dieses Raumes, nämlich der Teilraum, für den die x²-Komponente 0 ist. 

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Danke für die Ausführungen...

Noch eine letzte Anschlussfrage: Wenn ich das Koordinatensystem drehe, so verändert sich doch die Richtung des Vektors?! Und geometrisch ist ein Vektor ja eine gerichtete Strecke. Mit Richtungsänderung hätten wir doch dann einen anderen Vektor?

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Für Pfeile oder gerichtete Größen (also die Vektoren der Physik) muss natürlich eine Art "Grundraum" bestehen.
Dieser Grundraum ist aber nicht normiert und besitzt keine definierten Richtungen.

Für einen Pfeil kann ein solcher Grundraum zum Beispiel ein Blatt Papier sein.

Wenn du einen Pfeil auf ein blankes Blatt Papier malst, dann kannst du im Nachhinein ein Koordinatensystem einführen, um den Pfeil zu beschreiben. Du könntest den Ursprung zum Beispiel in die linke untere Ecke des Blattes legen und beide Achsen parallel zu den Blattkanten wählen.

Das ist aber nicht zwingend notwendig! Du kannst auch ein schiefes Koordinatensystem wählen, der Ursprung kann irgendwo liegen. Das alles beeinträchtigt den Pfeil aber nicht!

Eine Drehung des Blattes ist in diesem Modell allerdings nicht erlaubt, denn das Blatt definiert den Anschauungsraum, in dem wir uns bewegen.
Diese Regel wird nachvollziehbarer, wenn man als Anschauungsraum z.B. den Klassenraum wählt. Die Lage der einzelnen Objekte ist zu einem festen Zeitpunkt klar definiert, ihre Koordinaten hängen aber davon ab, wie man das Koordinatensystem im Klassenraum wählt. (Wo der Ursprung liegt, in welche Richtungen die Achsen zeigen und welche Einheiten die Achsen haben.)

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Danke :) Mich stört halt die Definition: "ein Vektor ist eine gerichtete Strecke", die sich - wenn wir das Koordinatensystem drehen - irgendwie beißt. Da ja die Richtung verändert wird, und es sich damit um einen anderen Vektor handelt. Denn: Vektoren sind gleich, wenn ihre Richtung gleich ist und ihre Länge.

Ja, der Pfeil wird nicht beeinträchtigt, in seiner Länge und seinen x-y-Komponenten. Aber die Richtung in Bezug auf das Koordinatensystem.

Sollte man entsprechend die obige geometrische Definition nicht einschränken?

Danke nochmals!

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Du musst Richtung losgelöst vom Koordinatensystem betrachten.

Mal ein graphisches Beispiel:

Betrachten wir einen (grob skizzierten) Fluss:

der Pfeil bezeichnet die Richtung, in die der Fluss fließt.
Möchte man nun die Fließrichtung des Flusses beschreiben, dann benötigt man ein Koordinatensystem:

Mögliche Varianten sind z.B.

Der Fluss fließt jedes Mal in die gleiche Richtung, aber die Koordinatendarstellung ist jedes mal eine andere.

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Genau, das habe ich verstanden. Doch mit "ein Vektor ist eine gerichtete Strecke" + der Drehung des Koordinatensystems erhält der Vektor in Bezug auf das Koordinatensystem andere Koordinaten: 

Nach der Drehung: 

Und das beißt sich meiner Meinung nach mit der geometrischen Definition sowie der Aussage, Vektoren seien vom Koordinatensystem unabhängig :)

Spannend!

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Dein Denkfehler liegt darin, den Vektor mit seiner Koordinatendarstellung zu identifizieren.
Das ist wirklich nicht schlimm, in der Schule wird es schließlich so gelehrt.

Es ist aber wichtig, streng zwischen dem Vektor und seiner Koordinatendarstellung zu unterscheiden.

 

Wenn man es ganz streng sieht, ist das Verhältnis folgendermaßen:

Der Pfeil ist ein Objekt aus dem Vektorraum V der Pfeilklassen (das bedeutet eigentlich nur, dass der Anfangspunkt des Pfeiles egal ist).
Wenn man ein Koordinatensystem einführt, dann definiert man eigentlich eine bijektive Abbildung φ:V→ℝⁿ (einen sogenannten Isomorphismus) von diesem Vektorraum zur Menge der Zahlentupel, bei einem zweidimensionalen Vektor genauer gesagt zur Menge ℝ², die mit den Definition (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) und c*(a, b) = (ca, cb) ebenfalls ein Vektorraum ist.
Man rechnet dann mit diesem alternativen Vektorraum ℝ², der wie gesagt isomorph ist, das heißt, es ist egal, ob man eine Operation im Ursprungsvektorraum der Pfeilklassen durchführt oder die entsprechend zugeordnete Operation im ℝ².

Nun gibt es aber beliebig viele solcher Isomorphismen zu ℝ². Einen beliebigen solcher Isomorphismen nennt man daher Koordinatensystem und das einem Vektor zugeordnete Zahlentupel seine Koordinatendarstellung.
Wenn man den gewählten Isomorphismus z.B. von φ zu ψ:V→ℝ² wechselt, dann führt man eine sogenannte Koordinatentransformation T: ℝ² → ℝ²: T = ψ•φ^-1 durch.

Der Vektorraum V hat aber eigentlich natürlich gar nichts mit ℝ² zu tun, aber die Objekte von ℝ² sind uns so vertraut, dass wir mit ihnen deutlich lieber und geschickter umgehen, als mit Objekten von V.

 

Jetzt habe ich ziemlich viele Worte benutzt, die relativ viel theoretischen Unterbau brauchen.
Wenn du irgendwas nicht verstehst, kannst du gerne nachfragen!
Ich will nicht so wirken, als würde ich die Diskussion mit Fachbegriffen ersticken wollen ;-)

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Wow! ℝ²: T = ψ•φ^-1 habe ich nicht verstanden, da mir die Symbole (außer ℝ²) nicht vertraut sind, aber gut :)

Das Stichwort "Koordinatentransformation" ist mir beim Lesen hängengeblieben. 

Damit die "schulgeometrische" Definition für das Zweidimensionale nun stimmt, würde ich wie folgt einschränken: 

1. ein Vektor ist eine gerichtete Strecke
2. er ist unabhängig vom Koordinatensystem
3. wird das Koordinatensystem gedreht, so sind die Vektor-Komponenten ebenfalls zu transformieren 

Ich denke, so sollte es stimmen? Ohne Fachbegriffe ;)

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Ja, das ist richtig!

War es tatsächlich nur der dritte Satz, den ich hätte sagen müssen? Dann habe ich dich wohl irgendwie ein bisschen missverstanden ;-)

Tatsächlich definiert man in der Physik Vektoren zum Beispiel vollständig über ihr Transformationsverhalten. Das heißt quasi "Ein Vektor ist alles, was sich beim Koordinatenwechsel wie ein Vektor transformiert.")

Ein paar einfache Beispiele für Koordinatentransformationen sind die folgenden:

1) Translation (das Koordinatensystem wird im ganzen um einen konstanten Vektor verschoben. Dabei ändern sich Vektoren nicht!)

2) Rotation (das Koordinatensystem wird um den Winkel α gedreht. Dabei werden Vektoren mit der Rotationsmatrix

$$ R = \left( \begin{array} { c c } { \cos \alpha } & { \sin \alpha } \\ { - \sin \alpha } & { \cos \alpha } \end{array} \right) $$

malgenommen. (Zu den Regeln der Matrixmultiplikation siehe z.B. hier und hier)

3) Inversion (das Koordinatensystem wird am Nullpunkt gespiegelt. Dabei gehen alle Koordinaten in ihr negatives über.)