Lineares Gleichungssystem: Unter welcher Bedingung ist das System lösbar?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei das Lineare Gleichungssystem mit den Unbekannten x_{1 ,} x₂ und x₃

\( \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ a & -2 & b \\ -1 & 0 & b\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ 0\end{array}\right) \)

(a, b und c₁ sind beliebig gewählte reelle Zahlen)

Unter welcher Bedingung ist das System

a) lösbar? b) nicht lösbar? c) lösbar, aber nicht eindeutig lösbar?

Comments

Setzt doch mal b = 0 ein und schau, was das System macht.

Dann a = 0 und ebenfalls schauen.

Damit du ein Gefühl für sowas bekommst.

Answer 1

Hier könnte man prima die Determinante untersuchen

DET([1, 1, 0; a, -2, b; -1, 0, b]) = - a·b - 3·b = - b·(a + 3) = 0

Was passiert also für b = 0 oder für a = - 3 ?

Comments

muss ich nur einfach die determinante ausrechnen?

Aber in der Fragestellung steht ja kein " berechnen Sie die Determinante"oder so...deshalb komme ich durcheinander.

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kann ich die determinante auch mit dem satz von sarrus berechnen???? hast du als determinante -3 heraus oder habe ich das falsch hingenommen

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Die Determinante lautet - a·b - 3·b.

Mit ihr kann man Rückschlusse auf die lineare Abhängigkeit der Koeffizientenmatrix ziehen. Ist die Determinante 0 sind die Gleichungen linear abhängig. Das ist der Fall bei keiner oder unendlich vielen Lösungen.