Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=\frac{1}{4} x^{3}-3 x^{2}+9 x \).
a) Untersuche den Graphen von \( \mathrm{f} \) auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extrempunkte und Wendepunkte. Zeichne den Graphen für \( 0 \leq \mathrm{x} \leq 8 \).
b) Berechne die Fläche, die die Tangente mit dem Berührpunkt B (2/8) mit dem Graphen von f einschließt.
c) Für \( \mathrm{k} \in \mathbb{R} \) ist \( \mathrm{f}_{\mathrm{k}}(\mathrm{x})=\frac{1}{4} \mathrm{x}^{3}-\frac{3}{8}(\mathrm{k}+6) \mathrm{x}^{2}+{ }_{2}^{9} \mathrm{k} \mathrm{x}+\left(27-\frac{27}{2} \mathrm{k}\right) \).
Zeige, dass die Funktion \( \mathrm{f} \) mit \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{4} \mathrm{x}^{3}-3 \mathrm{x}^{2}+9 \mathrm{x} \) zu dieser Funktionenschar \( \mathrm{f}_{\mathrm{k}} \) gehört. Zeige ferner, dass alle Funktionsgraphen von \( \mathrm{f}_{\mathrm{k}} \) durch den Punkt \( \mathrm{P}(6 \mid 0) \) verlaufen und dass sie dort einen Extrempunkt haben, falls \( \mathrm{k} \neq 6 \) ist. Untersuche den Fall \( \mathrm{k}=6 \).
d) Zeige, dass der Graph von \( \mathrm{f}_{\mathrm{k}} \) an der Stelle \( \mathrm{k} \) einen weiteren Extrempunkt hat, falls \( \mathrm{k} \neq 6 \) ist und dass alle Punkte \( \mathrm{P}_{\mathrm{k}}\left(\mathrm{k} \mid \mathrm{f}_{\mathrm{k}}(\mathrm{k})\right) \) auf dem Graphen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades liegen.
