Differenzialgleichungen y'+y/(1+x)=e^2x

Question

ich rechne gerade folgende Differenzialgleichungen:y'+y/(1+x)=e^2x
Als homogene Lösung der DGL bekomme ich y=C*(1+x).
Durch Variation der Variabel bekomme ich dann für C(x)=int(e^2x*(1+x))=[-0,5xe^2x-0,5-0,5x] und dann für die gesamte Lösung:y=[-0,5xe^2x-0,5-0,5x]*(1+x)
Wenn ich diese Lösung aber und DGL einsetze, kommt nicht das selbe raus.
Könnte mir Bitte jemand sagen, wo ich mich verrechnet habe und mir einen Tipp geben, da ich nicht mehr weiter weiß.
Für Eure Antworten bedanke ich mich schon im Voraus recht herzlich.
LG Heisenberg

Answer 1

Bei der homogenen Lösung ist ein kleiner Fehler drin:

Homogene Lösung bedeutet rechte Seite der DGL Null setzen:

y' + y/(1 + x) = 0

dy/dx +  y/(1 + x) = 0

dy/dx = - y/(1 + x)

dy/y = -dx/(1 + x)    (integrieren)

ln(y) + c1 = - ln(1+x) + c2

ln(y) = - ln(1+x) + c      (e hoch nehmen)

y_h = e^{- ln(1+x) + c} = e^c/e ^ln(1+x) = c/(1 + x)

Die partikuläre Lösung bekommst dann selber hin?

Answer 2

Hallo !

Deine Differentialgleichung lässt sich verallgemeinern -->

y´ + u(x) * y + v(x) = 0

Bei dir gilt folgendes -->

u(x) = 1 / (1 + x)

v(x) = -e ^ (2 * x)

Jetzt schau mal hier, dort wird die Lösung für diese Form von Differentialgleichung angezeigt -->

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%C2%B4%2Bu%28x%29*y%2Bv%28x%29%3D0

Die Bausteine sind -->

-ln(Xi + 1)

-ln(x + 1) + ln(2)

e ^ (2 * Zeta) * e ^ (ln(Zeta + 1) - ln(2))

(1 / 8) * (2 * Zeta + 1) * e ^ (2 * Zeta)

(1 / 8) * (2 * x + 1) * e ^ (2 * x) - (1 / 8) * 3 * e ^ 2

C * e ^ (-ln(x + 1) + ln(2)) + e ^ (-ln(x + 1) + ln(2)) * ((1 / 8) * (2 * x + 1) * e ^ (2 * x) - (1 / 8) * 3 * e ^ 2)

Zum Simplifizieren dieses doch recht fiesen Ausdrucks habe ich WolframAlpha verwendet -->

https://www.wolframalpha.com/input/?i=simplify+%28C+*+e+^+%28-ln%28x+%2B+1%29+%2B+ln%282%29%29+%2B+e+^+%28-ln%28x+%2B+1%29+%2B+ln%282%29%29+*+%28%281+%2F+8%29+*+%282+*+x+%2B+1%29+*+e+^+%282+*+x%29+-+%281+%2F+8%29+*+3+*+e+^+2%29%29

Endergebnis -->

y = (8 * C + (2 * x + 1) * e ^ (2 * x) - 3 * e ^ 2) / (4 * (x + 1))

Probe -->

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%288+C%2Be^%282+x%29+%282+x%2B1%29-3+e^2%29%2F%284+%28x%2B1%29%29%29%27%2B%288+C%2Be^%282+x%29+%282+x%2B1%29-3+e^2%29%2F%284+%28x%2B1%29^2%29+%3D+e^%282x%29

WolframAlpha gibt als Ergebnis TRUE = WAHR aus, die Probe stimmt also.

LG Spielkamerad