Zeigen Sie folgende Formel für die Ableitung

Question

Gegeben:

$$f:\left[ a,b \right] \rightarrow R$$ differenzierbar in $$x\quad \epsilon \quad ]a,b[$$

Zeigen Sie:

$$f'(x)=\lim _{ h\rightarrow \infty  }{ \frac { f(x+h)-f(x-h) }{ 2h }  } $$

Wie bekomme ich aus der üblichen Formel

$$f'(x)=\lim _{ h\rightarrow \infty  }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h }  } $$

die obige Formel ?

Anschaulich ist mir die Richtigkeit der Formel klar, nur fehlt mir der Ansatz für den streng mathematischen Beweis. Wäre klasse, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte :-)

Comments

Der Limes müsste für h gegen 0 sein und nicht gegen unendlich.

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Das ist natürlich richtig ;-)

Answer 1

$$f′(x)={ lim }_{ h→0 }\frac { f(x+h)−f(x) }{ h } $$

Bei diesem Ausdruck lässt du ja bereits auch schon was aus dem Differentenquotienten weg nämlich :

$$ f′(x)={ lim }_{ h→0 }\frac { f(x+h)−f(x) }{ x+h-x } $$

Das x subtrahiert sich ja weg.

Also der allgemeine Differentenquotient lautet ja :
$$\frac { f(a)−f(b) }{ a-b } $$

Jetzt wählen wir doch mal a=x+h und b = x-h

Dann erhalten wir :
$$\frac { f(x+h)−f(x-h) }{ x+h-(x-h)\quad  } =\frac { f(x+h)−f(x-h) }{ x+h-x+h\quad  } =\frac { f(x+h)−f(x-h) }{ 2h } $$

Ja und das war eigentlich schon das was du für deinen Beweis brauchst.

Comments

Vielen Dank, ich habe oft einfach das Problem, dass ich naheliegende Lösungen nicht sehe bzw. dass ich keine Idee habe, an die Aufgaben heran zu gehen :-(

Trotzdem verstehe ich die Beweise, sobald sie vor mir stehen :D

Answer 2

Die klassische Formel ist ja
(f(x+h) - f(x) )  / h

wobei bei positivem h dies einer Annäherung von rechts an die Stelle x entspricht.

Kannst aber natürlich auch von links kommen, dann hast du
(f(x-h) - f(x) ) / -h     =  ((f(x) - f(x-h) ) / h
und weil beide Brüche gegen f ' (x) gehen, geht die Summe
(f(x+h) - f(x) )  / h     +       ((f(x) - f(x-h) ) / h    =     ((f(x+h) - f(x-h) ) / h
gegen 2 * f ' (x)  und die halbe Summe, das wäre

((f(x+h) - f(x-h) ) / 2*h  geht gegen  f ' (x) .