Partielle Ableitung mit der Kettenregel - Erläuterung gesucht =)

Question

ich habe noch ein wenig Übungsbedarf beim partiellen Ableiten eines Quotienten (mit der Kettenregel).

Gegeben ist folgende Funktion:

$$f(x,y)= \frac { 2x }{ 4y-3x } $$

Kettenregel:

$$ g'=f_x*x'+f_y*y' $$

Mein Ansatz:

$$f_x(x,y)= { 2*1 }*{ (-1(4y-3x)^{-1-1}) }+\;? $$

wäre nett, wenn sich mal jemand die Mühe machen könnte und mir das schrittweise erläutern können :-)

Danke

Answer 1

f ( x,y ) = ( 2 x ) / ( 4y - 3x )

Ableitung nach x.
y wird als Konstante behandelt.
Nach der Quotientenregel.

fx ´ = [ 2 *  ( 4y - 3x ) - ( 2x * (-3) ) ] / ( 4y - 3x )^2
fx ´=  ( 8y - 6x + 6x ) /  ( 4y - 3x )^2
fx ´= ( 8y ) /  ( 4y - 3x )^2

Comments

Hey Danke, aber ich kann die Funktion auch mit der Kettenregel ableiten, oder? Mich würde von daher den Weg mit der Kettenregel interessieren. Danke, danke... Danke

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Da kann ich dir leider nicht helfen.

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Hallo georgborn,
Könntest du mir eventuell noch den Lösungsweg für die 2. Ableitung nach x aufzeigen?
Mit der Kettenregel ist die Ableitung ziemlich umständlich ;-) deswegen genügt die Quotientenregel, mit der ich mich rumschlage ,-)
Danke schonmals

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Hab's kapiert^^

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Hier meine Lösung:

f_xx(x,y) = [ 8y * 2 (4y-3x) - 8y * (-3) ] / [(4y-3x)]⁴ = [ 8y * 2 - 8y*  (-3) ] / [(4y-3x)]³ = (16y + 32y) / (4y-3x)³
= (48y) / (4y-3x)³

jetzt die partielle Ableitung nach y:

f_y(x,y) = [ (2x * (4y-3x) - 2x * 4)] / (4y-3x)²

(4y-3x) äußere Fkt. abgeleitet wird 0

f_y(x,y) = [ (2x * 0 - 2x * 4)] / (4y-3x)² = f_y(x,y) = [ (- 2x * 4)] / (4y-3x)² = (- 8x) / (4y-3x)³

2. Ableitung nach y:

f_yy(x,y) = (-1)* [(8x * 2 * (4y-3x) - 8x *4)]  / (4y-3x)⁴ = (-1) * [(16x-32x)] / (4y-3x)³ = (16x) / (4y-3x)³

(16x) / (4y-3x)³ stimmt leider irgendwie nicht so ganz :-(

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Die Qutionentenregel ist

( u / v ) ´ = ( u´* v - u * v ´) / v^2

fx ´= ( 8y ) /  ( 4y - 3x )²

u = 8y
u ´ = 0
v = ( 4y -3x )^2
v ´ = 2 * ( 4y - 3x ) * (-3) = -6 * ( 4y - 3x )
v^2 = ( 4y - 3x )^4

fx ´´ =   [ ( 0 * (4y-3x)^2 - 8y * (-6 ) * ( 4y  - 3x ) ] / ( 4y - 3x )^4
fx ´´ = (  -8y * ( 4y - 3x )* (-6) ) / ( 4y -3x)^4
fx ´´ = ( -8y * (-6) ) / ( 4y -3x)^3
fx ´´ = ( 48y ) / ( 4y -3x)^3

f = ( 2x )/ ( 4y -3x )
jetzt die partielle Ableitung nach y:
f_y(x,y) = [  0 * (4y-3x) - 2x * 4  ]   / (4y-3x)²
fy ´=  ( -8x  ) / (4y-3x)²

Und damit sind wir bereits fertig.

Die Kettenregel findet hier keine Anwendung.