Kriterien für Differenzierbarkeit.

Question

Frage:

Es sei I := (-1, 1) und f: I → ℝ. Zeigen sie:

a) Gibt es Zahlen K > 0 und a > 1 mit |f(x)| ≤ K|x|^a  ∀ x ∈ I, so ist f in 0 differenzierbar.

b) Gilt f(0) = 0, und gibt es K > 0 und a ∈ (0, 1) mit |f(x)| ≥ K|x|^a  ∀ x ∈ I, so ist f in 0 NICHT differenzierbar.

Ich verstehe weder die Aufgabenstellung noch weiß ich nicht wie ich da ran gehen soll.

Das einzige was ich Momentan im Kopf habe ist :

Eine Funktion ist dann differenzierbar, wenn lim_{x →∞} ((f(x) -f(x₀)) /( x - x₀ )) = f'’(x₀ ) existiert.

Answer 1

Also so ein paar Tipps hätte ich :

a) Gibt es Zahlen K > 0 und a > 1 mit |f(x)| ≤ K|x|^a  ∀ x ∈ I, so ist f in 0 differenzierbar.

Da 0 aus I ist, ist jedenfalls |f(o)| ≤ K * o also f(0)=0

Dann Differenzenquotient bei x=0

f(x) - f(0) / x - 0  =    f(x) / x        und f(x) liegt zwischen   - K|x|^a  und + K|x|^a 

Dann kann man vielleicht mit Fallunterscheidungen x>0 und x<0 oder so den

Diff.quot. mit     - K|x|^a-1  und + K|x|^a-1  vergleichen ???

b) Gilt f(0) = 0, und gibt es K > 0 und a ∈ (0, 1) mit |f(x)| ≥ K|x|^a  ∀ x ∈ I, so ist f in 0 NICHT differenzierbar.

wegen  f(0) = 0 ist auch hier der Diff.quot wieder  f(x) / x und vermutlich wird der durch die

Bedingung t |f(x)| ≥ K|x|^a  ∀ x ∈ I zu groß um einen Grenzwert für x gegen 0 zu haben.

Wie gesagt: Nur so ein paar Ideen, die mir durch den Kopf gingen.

Comments

"Da 0 aus I ist, ist jedenfalls |f(o)| ≤ K * o also f(0)=0"

Ist das wirklich so?

Es ist doch nur gegeben,dass es kleiner gleich 0 ist. Also kann doch auch z.b.  f(0 ) = -1 oder nicht?

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Beträge sind immer nicht-negativ. Deshalb kann man daraus schon folgern, dass \(|f(0)|=0\) sein muss und demnach auch \(f(0)=0\). Man kann sogar noch weitergehen und mit dem Einschließungssatz begründen, dass \(f\) in \(0\) stetig ist.

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Ahh okay, ich versuche es mal gerade..vielleicht klappt es, ja mit dem Ansatz. Erstmal Danke.