Aufgabe:
Sei \( M \) eine \( 2 \times 2 \)-Matrix und \( t \in \mathbb{R} \). Die Exponentialfunktion der Matrix \( t M \) ist so definiert:
\( e^{t M}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(t M)^{k}}{k !}=1+t M+\frac{t^{2}}{2 !} M^{2}+\frac{t^{3}}{3 !} M^{3}+\ldots \)
Falls die Matrix \( M \) diagonalisierbar ist, d.h. falls es eine invertierbare Matrix \( S \) gibt derart, dass
\( M=S\left[\begin{array}{cc} \lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} \end{array}\right] S^{-1}, \quad \lambda_{1}, \lambda_{2} \text { bezeichnet die Eigenwerte von } M \)
dann ergibt die obige Definition das bereits in der letzten Vorlesung verwendete Resultat:
\( e^{t M}=S\left[\begin{array}{cc} e^{\lambda_{1} t} & 0 \\ 0 & e^{\lambda_{2} t} \end{array}\right] S^{-1} \)
Wenn die Matrix \( M \) nilpotent ist, d.h. nur endlich viele Potenzen \( M^{0}, M, \ldots M^{m} \) sind von der Nullmatrix verschieden, \( M^{j}=0 \) für \( j>m \), dann wird die Reihe für die Exponentialfunktion eine endliche Summe.
\( e^{t M}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(t M)^{k}}{k !}=1+t M+\ldots+\frac{t^{m}}{m !} M^{m} \)
Auch in diesem Fall können wir \( e^{t M} \) explizit berechnen.
Berechnen Sie \( e^{t M} \) für
a) \( M=\left[\begin{array}{cc}0 & -2 \\ -2 & 0\end{array}\right] \)
b) \( M=\left[\begin{array}{cc}0 & -2 \\ 0 & 0\end{array}\right] \)
