Exponentialfunktion etM von Matrizen. u.a. etM ausrechnen für M=((0,-2)(-2,0))

Question

Aufgabe:

Sei $M$ eine $2 \times 2$-Matrix und $t \in \mathbb{R}$. Die Exponentialfunktion der Matrix $t M$ ist so definiert:

$e^{t M}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(t M)^{k}}{k !}=1+t M+\frac{t^{2}}{2 !} M^{2}+\frac{t^{3}}{3 !} M^{3}+\ldots$

Falls die Matrix $M$ diagonalisierbar ist, d.h. falls es eine invertierbare Matrix $S$ gibt derart, dass

$M=S\left[\begin{array}{cc} \lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} \end{array}\right] S^{-1}, \quad \lambda_{1}, \lambda_{2} \text { bezeichnet die Eigenwerte von } M$

dann ergibt die obige Definition das bereits in der letzten Vorlesung verwendete Resultat:

$e^{t M}=S\left[\begin{array}{cc} e^{\lambda_{1} t} & 0 \\ 0 & e^{\lambda_{2} t} \end{array}\right] S^{-1}$

Wenn die Matrix $M$ nilpotent ist, d.h. nur endlich viele Potenzen $M^{0}, M, \ldots M^{m}$ sind von der Nullmatrix verschieden, $M^{j}=0$ für $j>m$, dann wird die Reihe für die Exponentialfunktion eine endliche Summe.

$e^{t M}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(t M)^{k}}{k !}=1+t M+\ldots+\frac{t^{m}}{m !} M^{m}$

Auch in diesem Fall können wir $e^{t M}$ explizit berechnen.

Berechnen Sie $e^{t M}$ für

a) $M=\left[\begin{array}{cc}0 & -2 \\ -2 & 0\end{array}\right]$

b) $M=\left[\begin{array}{cc}0 & -2 \\ 0 & 0\end{array}\right]$

Comments

a) Ist invertierbar. Also verfahre so wie es für invertierbare matrizen beschrieben ist.

b) Ist niltpotent. Gehe so vor wie es für nilpotente Matrizen beschrieben ist.

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vielen dank,

ich hab bei a.) a,d=1 c,b=-2t

b.) a,d=1 b=-2t c=0

ist das richtig?

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Für soll a,b,c,d, hier jeweils stehen?

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Hab deine frage nicht verstanden?

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und ich deine Antwort nicht. a,b,c,d sind irgendwelche Bezeichnungen. Ich weiß nicht was die genau bezeichnen sollen.

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das bedeutet a b c dsoll die matix sein=)1    -2t-2t    1

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das bedeutet

a  b

c  d

soll die Matrix sein =)

1  -2t

-2t  1

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Also so: $$\begin{pmatrix} a&b \\ c & d\end{pmatrix}$$?

Und dann ist immer noch noch welche Matrix du genau meinst, ich vermute mal $$e^{tM}$$ :

Dann wär b) richtig, a) aber nicht. Die Matrix in a) ist invertierbar, nicht nilpotent.

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Wie muss ich das dann lösen die Aufgabe a)?

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Eigentlich steht das schon im Text oben:

Diagonalisier die Matrix.

Exponentiere die Diagonalmatrix.

Berechne e^tM nach dem Resultat der letzten Vorlesung.

Answer 1

Hi,
zu (a)
Die Eigenwerte von $M$ lauten $\lambda_1 = 2$ und $\lambda_2 = -2$. Die aus den Eigenvektoren bestehende Matrix $S$ lautet
$$S = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$
Deshalb gilt $$e^{Mt} = S \begin{pmatrix} e^{\lambda_1 t} & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2 t} \end{pmatrix} S^{-1} = \begin{pmatrix} cosh(t) & -sinh(t) \\ -sinh(t) & cosh(t) \end{pmatrix}$$

Zu (b)
Hier gilt $$M^2 = 0$$ Deshalb folgt $$e^{Mt} = E + Mt = \begin{pmatrix} 1 & -2t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Answer 2

a) ist im Wesentlichen die ===> Paulimatrix S1 . Paulimatrizen sind ===> Hermitesch; schau dir mal ihre Diagonalbasis an. Ihre Eigenwerte sind +/-1 , entsprechend Eigenwerten von exp ( S1 )  von e bzw. 1/e

Comments

Ich glaube nicht, dass es Sinn macht, eine Frage vom 2. Februar jetzt noch zu beantworten.

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Yukawah: Wird aber auch niemanden stören, wenn er eine ähnliche Frage hat, und zufällig die Suche benutzt.