Für welche Werte des Parameter p ist des Gleichungssytem A * x =b lösbar?

Question

Gegeben sind die Matrizen

b=( 1 / p / p² )

A=

1	1	p
1	p	1
p	1	1

Wie lauten jeweils die Lösungen?

PS: ich sitz schon eine weile dran und komm auf keinen Nenner =( ungern zeit verschwenden zum lernen

Answer 1

Hi,
die erweiterte Zeilenstufenform des Gleichungssystems lautet
$$  B(p) = \begin{pmatrix}  1 & 1 & p & 1 \\ 0 & 1-p & p-1 & 1-p \\ 0 & 0 & (p+2)(1-p) & p^2-1 \end{pmatrix} $$
Wenn \( p\ne -2 \) und \( p \ne 1\) gilt, ist das Gleichungssystem eindeutiglösbar wie man durch rückwärts einsetzten sehen kann. Jetzt musst Du noch die Fälle \( p = 1 \) und \( p = -2 \) separat betrachten (warum?). Für \( p = 1 \) folgt
$$ B(1) = \begin{pmatrix}  1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ also gibt es unendliche viele Lösungen und der Lösungsraum ist 2-dimensional (warum?). Für \( p = -2 \) folgt
$$  B(-2) = \begin{pmatrix}  1 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$ Was bedeutet das für das rückwärts einsetzten?