Wie lautet eine mögliche Schargleichung für eine Parabelschar mit dem Scheitel bei (1/2)?

Question

ich habe daran gedacht dass f ' (1) = 0 sein muss aber weiß nicht was ich weiter tun soll.

Answer 1

( 1  | 2 )
f ( 1 ) = 2
f ´(1 ) = 0

Am einfachsten man geht von der Scheitelpunktform aus

f ( x ) = a * ( x - 1 )^2 + 2

Da x - 1 stets 0 ist kann a beliebig sein. Der Funktionswert ist stets 2.

Die erste Ableitung ist
f ´( x ) = 2 * a * ( x -1 )
Ist für x = 1 stets 0.

Comments

Dankeschön! Konnte es gut nachvollziehen.
Die allgemeine Form für den Scheitelpunkt ist dann  ax^2 +b richtig?

In der nächsten Aufgabe soll ich einen Funktionsterm für die Parabelschar angeben. Es ist eine Skizze gegeben auf der mehrere Parabeln  abgebildet sind, die alle einen unterschiedlichen Scheitel haben. eine bei (-1/-2) dann (0/0) dann 1/2) dann (2/4).
Der Term soll beliebig sein , jedoch soll ich im Nachhinein begründen ob es eine Schar von Parabeln zweiter Ordnung gibt, sodass die Scheitel auf der Kurve K mit (2/x) liegen.

Können Sie mir dabei bitte helfen? Wäre super!

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Vorbemerkung : hier im Forum wird üblicherweise das " du " verwendet.

Dankeschön! Konnte es gut nachvollziehen.
Die allgemeine Form für den Scheitelpunkt ist dann  ax² +b richtig?

Wenn du von der Normalform der Parabel
f ( x ) = a*x^2 + b*x + c
ausgehst, dann ist der x-Wert des Scheitelpunkts
f ´( x ) = 2*a*x + b
bei
2*a*x + b =  0

Vorbemerkung : wenn du eine 2.Frage stellen willst, dann stelle diese als
neue Frage ein. Damit vergrößerst du den Kreis möglicher Antwortgeber.

In der nächsten Aufgabe soll ich einen Funktionsterm für die Parabelschar angeben. Es ist eine Skizze gegeben auf der mehrere Parabeln  abgebildet sind, die alle einen unterschiedlichen Scheitel haben. eine bei (-1/-2) dann (0/0) dann 1/2) dann (2/4).
Der Term soll beliebig sein , jedoch soll ich im Nachhinein begründen ob es eine Schar von Parabeln zweiter Ordnung gibt, sodass die Scheitel auf der Kurve K mit (2/x) liegen. 

Die Scheitelpunkte liegen alle auf den Punkten  ( x_s  | 2 * x_s ).
( jedenfalls wenn ich die angegebenen Punkte richtig deute )

ich benutze wieder die Scheitelpunktform
y = x^2 ( Normalparabel )
y = a * x^2 ( flachere oder steilere Parabel )
y = a * ( x - b)^2  ( zusätzlich nach rechts oder links verschobene Parabel )
y = a * ( x - b)^2 + c  ( zusätzlich noch nach oben oder unten verschoben )
Scheitelpunkt ( b | c )
Für den Scheitelpunkt gilt auch ( x_s  | 2 * x_s ).
Also
Scheitelpunkt ( b  | 2 * b )

Die Funktionsschar ist die Funktion
f ( x )  = a * ( x - b )^2 + 2 * b

Beispiel
a = 1

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Wie kann ich feststellen ob es eine Schar gibt eren Scheitel auf einer bestimmten Kurve liegen, in dem Fall y= 2/x ??

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Und ist 2/x dasselbe wie 2x^{-1} ???

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Und ist 2/x dasselbe wie 2x^-1 ??? ja

Wie kann ich feststellen ob es eine Schar gibt eren Scheitel auf
einer bestimmten Kurve liegen, in dem Fall y= 2/x ??

Das solltest du jetzt aber selbst könne.

y = a * ( x - b)² + c  ( zusätzlich noch nach oben oder unten verschoben )
Scheitelpunkt ( b | c )
Für den Scheitelpunkt gilt auch ( x_s  | 2 / x_s ).
Also
Scheitelpunkt ( b  | 2 / b )

Die Funktionsschar ist die Funktion
f ( x )  = a * ( x - b )² + 2 / b

Answer 2

Nimm besser die Scheitelpunktform der Parabelgleichung zu Hilfe. (ca. 8. oder 9. Klasse) dann geht das viel einfacher.

S(1 |2)

f(x) = a(x-1)^2 + 2

Wenn du unbedingt möchtest, kannst du noch die Klammer auflösen.

f(x) = a(x^2 - 2x + 1) + 2 = ax^2 -2ax + a + 2,   a Element R\{0}

Zur Kontrolle kannst du das Resultat in beiden Formen noch nach x ableiten und den Scheitelpunkt so bestimmen.

Zur Repetition der Scheitelpunktform einer Parabelgleichung:

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=GzXUj8YvZT4