Gleichungssystem lösen mit 3 Gleichungen und zwei Unbekannten

Question

Ich habe folgende Aufgabe:

Bestimme alle Lösungen (x,y) ∈ ℝ^2:

I) 5x - 10y = 20
II) -3x + 6y = -12
III) 2x - 4y = 8

Bin folgendermaßen vorgegangen:

I) x = 4-2y

I) in II): ... y=0

I in III) ... y=0

y ist also 0 und x muss dann 4 sein, damit alle drei Gleichungen erfüllt sind.
Ist das die einzige Lösung oder gibt es noch weitere? Woran würde man das erkennen?

Answer 1

I) 5x - 10y = 20 | :5

x-2y = 4
II) -3x + 6y = -12 |:(-3)

x -2y = 4
III) 2x - 4y = 8    |:2

x-2y= 4

Alle 3 Gleichungen beschreiben dieselbe Punktmenge 

L = {(x,y) | x -2y = 4} 

Im Koordinatensystem ist das die Gerade mit der Gleichung.

x-4 = 2y     | :2

0.5x + 2 = y

Gerade mit Steigung m= 1/2 und q = 2.

Answer 2

I)5x - 10y = 20
II) -3x + 6y = -12
III) 2x - 4y = 8

3 Gleichungen mit 2 Unbekannten ?
ist eine zuviel ? Ja.
Gleichung III ( mal 2.5 ) entspricht Gleichung i.

I) 5x - 10y = 20   | * 3
II) -3x + 6y = -12 | * 5

15x - 30y = 60
-15x + 30 y = -60  | abziehen
----------------------
- 30y  - 30 y = 120
-60y = 120
y = -2

In i)
5x - 10y = 20
5x - 10*(-2) = 20
5x + 20 = 20
5x = 0
x = 0

Probe
3*0 + 6+(-2) = -12
-12 = -12

Bei dir ist ein Fehler
5x - 10y = 20
nicht
x = 4 - 2y
sondern
x = 4 + 2y

Comments

Fehlerkorrektur

15x - 30y = 60
-15x + 30 y = -60  | abziehen
----------------------
- 30y  - 30 y = 120 

sondern addieren. Dann kommt heraus
0 = 0

( Siehe Antwort Lu )

Answer 3

wenn beim Einsetzen in 2 und 3 sowas wie 0=0 herausgekommen wäre,

dann gäbe es viele Lösungen.

Könnte auch sein, dass bei einer y=0 und bei der anderen y=1 herauskommt.

Dann gibt es keine Lösung.