Zeigen Sie die Identitäten bei Durchschnitt und Vereinigung von Mengen (Lösungskontrolle)

Question

ich habe hier eine Aufgabe: Zeigen Sie die Identitäten (wobei I eine beliebige Indexmenge ist):
$$\left(\bigcup\limits_{\alpha\in I}E_\alpha\right)^\complement = \bigcap\limits_{\alpha\in I}E_\alpha^\complement \text{ und } \left(\bigcap\limits_{\alpha\in I}E_\alpha\right)^\complement = \bigcup\limits_{\alpha\in I}E_\alpha^\complement $$

Wir haben folgendes definiert:
Sei Ω eine Indexmenge und für jedes ω∈Ω eine Menge A_ω gegeben.
- diesen Satz habe ich so aufgefasst: Jedes ω bildet eine der Mengen A_ω

$$  \bigcup\limits_{\omega\in\Omega} \text{A}_\omega := \text{A}_1 \cup \text{A}_2 \cup ... \cup \text{A}_\omega \ \Rrightarrow \text{Die Vereinigung jeder Einzelnen Menge A}_\omega. $$ $$  \bigcap\limits_{\omega\in\Omega} \text{A}_\omega := \text{A}_1 \cap \text{A}_2 \cap ... \cap \text{A}_\omega \ \Rrightarrow \text{Der Durchschnitt jeder Einzelnen Menge A}_\omega. $$

1. "⊆" Für die erste Gleichung würde das ja bedeuten, dass die Verreinigung von allen E_α die ganze Menge I herauskommt.Somit ist das komplement ∅.
"⊇" Da ja alle mengen E_α genau ein Element besitzen 1 Element. Somit ist das Komplement zu einem 
E_α all die Elemente, die in I, aber nicht in diesem E_α enthalten sind. Da ich den Schnitt mache, und da jedes α∈I ein E_α erzeugt, gibt es kein element, dass für alle E_α ein komplement ist.

2. "⊆" Für die zweite Gleichung geht es analog. Der Schnitt von allen E_α ist ∅, da ja jedes E_α wohlunterschieden voneinender ist. Das komplement davon ist die ganze Menge I.
"⊇" das Komplement zu einem E_α all die Elemente, die in I, aber nicht in diesem E_α enthalten sind. Da im nächsten E_α nicht mehr das element von dem ersten E_α auftaucht (somit im komplement ist), haben wir schon duch die Vereinigung dieser zwei E_α die ganze Menge I.

BEWEIS ENDE.

Wäre diese Begründung bei einer Mündlichen Prüfung akzeptabel?
Es kann passieren, dass ich mich in den lauten E_α verliere. Dürfte ich mir sie als E_α1 , E_α2 aufschreiben?

Danke.

Comments

deine Notation ab "diesen Satz habe ich so aufgefasst:...." ist nicht richtig.

Sind die \(E_{\alpha} \) tatsächlich 1-elementige Teilmengen der Indexmenge \(I\)?

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Dann würde dies bedeuten, dass jedes α∈I in einer der Mengen E_α liegt, wobei manchmal mehrere alphas in eine der Menge E_α liegen würden.

Dann würde es für den Beweis dies bedeuten:
1. "⊆" Da alle α∈I in den Mengen E_α sind, ist die Vereinigung die ganze Menge I.Somit ist das komplement ∅.
"⊇" Da alle α∈I, gibt es kein α, das komplement zu allen E_α wäre. Somit ist der Schnitt aller Komplementen zu
E_α ∅.

2. "⊆" Es kann ein α geben, dass in allen E_α gleichzeitig enthallten ist. Somit ist das Komplement entweder I (falls es so ein Alpha nicht gibt) oder I \ {alle elemente aus dem Schnitt} ? Dies ist wohl falsch.
"⊇" das Komplement zu einem E_α all die Elemente, die in I, aber nicht in diesem E_α enthalten sind. Es kann passieren, dass es ein α gibt, dass in allen E_α enhallten ist und somit kein Komplementelement ist. Somit ist die Vereinigung aller Komplemente entweder I (falls es so ein Alpha nicht gibt) oder I \ {alle elemente, die in jedem E_α auftauchen}

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Sehr aufschlussreich danke für die Beantwortung meiner Rückfrage.

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Momentmal, also ist der 2 Teil des Beweises akzeptabel?

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Kann ich erst beurteilen wenn du einmal vernünftig meine Frage beantwortest. Ich würde jetzt einfach davon ausgehen, dass \(I\) eine Indexmenge ist und zu jedem \(a \in I \) die Menge \( E_a\) existiert. Grundsätzlich haben diese Mengen nichts mit der Indexmenge zu tun also ist das was du da schreibst in diesem Fall leider Speicherplatzverschwendung.

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Falls dieser Server zu wenig Speicherplatz hat, werde ich die Fragen lieber als komprimiertes 10 kB Bilder hochladen.

Ich habe doch genau das geschrieben: "dass jedes α∈I in einer der Mengen E_α liegt"

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Entweder wir reden aneinander vorbei oder ich versteh dich einfach nicht.Was bitte genau ist \( E_{\alpha} \) in der Aufgabenstellung??? Eine Teilmenge der Indexmenge? Eine beliebige Menge? Eine Menge die ein bestimmtes Element enthält? Und bitte wirklich aus der Aufgabenstellung zitieren und keine Interpretation.

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Aufgabenstellung:

Defnieren Sei Vereinigung, Durchschnitt, Differenz und Produkt von Mengen. Zeigen Sie die Identitäten $$ \left(\bigcup\limits_{\alpha\in I}E_\alpha\right)^\complement = \bigcap\limits_{\alpha\in I}E_\alpha^\complement \text{ und } \left(\bigcap\limits_{\alpha\in I}E_\alpha\right)^\complement = \bigcup\limits_{\alpha\in I}E_\alpha^\complement $$ wobei I eine beliebige Indexmenge ist.

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Ok gut aso haben die Mengen nix mit der Indexmenge zu tun. Es muss aber doch noch eine Menge \( B\) gegeben sein, so dass \( E_{\alpha} \subset B \quad \forall \alpha \in I  \) sonst würde die ganze Komplementbildung ja keinen Sinn machen.

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Leider ist dies alles, was in der Aufgabe steht.
Mir wurde mal gesagt, dass es eine Menge gibt, die ALLE Mengen des Universums beinhaltet.
- meistens wird sie aber in Büchern nicht benutzt.

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Beinhaltet diese Menge auch sich selbst? ;)

Wie auch immer, es geht hier um die Verallgemeinerung der de Morgan'schen Gesetze. Kannst dir ja dazu mal was anschauen. Zu deiner Lösung braucht man nicht mehr viel zu sagen, da du dich auf die Annahme stützt, dass die Elemente der Mengen \( E_{\alpha} \) irgendwie mit den Elementen der Indexmenge \(I\) zusammenhängen, wovon in der Aufgabe überhaupt keine Rede ist.

Answer 1

1. "⊆" Für die erste Gleichung würde das ja bedeuten, dass die Verreinigung von allen E_α die ganze Menge I herauskommt.

Das sehe ich so nicht: Das ist einfach nur die Vereinigung von irgendwelchen Mengen, wie du es
oben notiert hast. Die Omegas sind einfach nur die Indizes.
Und man benutzt eben nicht immer A₁  A₂   A₃  etc, weil das ja nicht unbedingt endlich
oder abzählbar viele sein müssen.
Wenn du z:B. die Intervalle     I_c = ] 0; c [ für alle postiven reellen Zahlen c betrachtest, dann ist
etwa die Vereinigung  aller Ic mit c aus IR⁺ genau die Menge IR⁺  .

Und hier bei deiner aufgabe musst du zeigen:

Wenn du so eine Vereinigung von eventuell auch unendlich oder überabzählbar vielen E 's
hast und nimmst davon das Komplemnent, dann ist
das das gleiche wie der Durchschnitt aller einzelnen Komplemente.

Für   "⊆" würde ich so anfangen: Sei x aus der Menge links vom = Zeichen,
dann ist x aus dem Komplement der Vereinigung, d.h. es ist in keiner der Mengen Ea enthalten.
Dann ist x auch im Komplement jeder einzelnen Ea und damit im Durchschnitt all dieser
Komplemente.

Comments

Ehrlich gesagt verstehe ich nur Bahnhof.

Wir habe doch die Vereinigun von A_omega als Vereinigung jeder A_omega gesehen. Da alle A_omega zusammen alle elemente aus Ω besitzen, ist doch die Vereinigung von all diesen Mengen ganz Ω?

$$ \bigcup\limits_{\omega\in\Omega} \text{A}_\omega := \text{A}_1 \cup \text{A}_2 \cup ... \cup \text{A}_\omega \ \Rrightarrow \text{Die Vereinigung jeder Einzelnen Menge A}_\omega. $$

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Die A's enthalten nicht das omega, sondern haben den Index omega.

Bei dir sind die Ea irgendwelche Mengen mitElementen ais IR oder C oder

aus Punkten der Ebene, whatever. Die a aus I sind bei dieser Aufgabe das Entsprechende zu

den omega aus Großomega von eurer Definition.

Die Mengen selber enthalten irgendwelche Elemente über die du nichts weißt.