Ich lerne gerade für eine Klausur und habe in einer alten Klausur die folgenden Quizfragen gefunden. Ich würde nun einmal probieren diese so gut wie möglich und begründet zu lösen. Wenn ihr das korrigieren würdet, wäre mir sehr geholfen.
Aussagen:
a) Jedes homogene lineare Gleichungssystem mit \( n+1 \) Gleichungen in \( n \) Unbestimmten hat
▢ höchstens
▢ genau
▢ mindestens
eine Lösung.
b) Wenn ein \( \mathbb{F}_{2} \)-Vektorraum die Dimension 5 hat, dann enthält er
▢ mehr als
▢ genau
▢ weniger als
25 Vektoren.
c) Der \( \mathbb{F}_{2} \)-Vektorraum \( \mathbb{F}_{2}^{n \times n} \) hat für \( n>4 \) die Dimension
▢ \( 2 n \)
▢ \( n^{2} \)
▢ \( 2^{n} \)
d) Für jede Matrix \( A \in K^{m \times n} \) mit \( m<n \) gilt: \( \quad \operatorname{dim} \) Bild \( F_{A}= \)
▢ \( \operatorname{rg} A \)
▢ n-\operatorname{rg} A \)
▢ \( \square m-\operatorname{rg} A \).
e) Für \( K \)-Vektorräume \( U, V, W \) mit Basen \( \mathcal{A} \) von \( U, \mathcal{B} \) von \( V, \mathcal{C} \) von \( W \) und lineare Abbildungen \( F: U \rightarrow V, G: V \rightarrow W \) gilt immer: \( \quad M_{E}^{A}(G \circ F)= \)
▢ \( M_{\mathcal{B}}^{A}(F) \cdot M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}(G) \)
▢ \( M_{\mathcal{B}}^{4}(G) \cdot M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}(F) \)
▢ \( M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}(G) \cdot M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}(F) \)
f) Ein bijektiver Vektorraum-Endomorphismus \( F \) hat
▢ nie 0 als Eigenwert
▢ immer 1 als Eigenwert
▢ die gleichen Eigenwerte wie \( F^{-1} \).
Ansatz/Problem:
a) Hier kann man sich ja einfach 2 beliebige Gleichungen x+2=3 und x+1=2 anschauen, es wird klar, dass es mindestens eine Lösung geben muss, da wir allerdings 2 Gleichungen haben, mit nur einer Unbekannten kann das System nur entweder stimmen oder nicht stimmen, jede weitere Lösung wäre identlsch. Die richtige Antwort wäre also höchstens eine Lösung
b) Ein F2 Vektorraum der Dimension 1 hat 2 Vektoren, für jede weitere Dimension, lassen sich doppelt so viele Kombinationen herstellen, die alten Vektoren mit einer Spalte mehr unten in der eine 0 oder eine 1 drinne ist. Es ergeben sich somit also 2^5 Vektoren und damit mehr als 25 Vektoren (nämlich genau 32) Hat es eigentlich irgendwas zu bedeuten das nach dieser Argumentation der Vektorraum der Dimension 0 einen Vektor enthält? Ist sicher eine Sonderregel für definiert, nehme ich an.
c) Lässt sich ja einfach testen mit zum Beispiel n=6 aber es sollte so oder so offensichtlich n² sein.
d) Hier hab ich leider keine Ahnung, ich weiß nur das Fa als Standardinterpretation von K^1xn->K^mx1 in diesem Fall definiert ist. Hier würde ich mich sehr über eine Erklärung freuen.
e) Das müsste die mittlere Antwort sein aber da bin ich mir nicht sicher gerade. Hier wäre eine Erklärung auch klasse
f) Hier würde ich intuitiv "nie 0 als Eigenwert" antworten aber genau begründen kann ich es ebenfalls nicht. Auch hier wäre eine verständliche Erklärung nötig.
Ich hatte zwar mit dem Rest der Klausur keine Probleme und möchte eigentlich nur bestehen aber die Fragen beantworten zu können wird mir sicher nochmal so einige Zusammenhänge klar machen.
