Sei K ein Körper und UCKn ein Untervektorraum. Zeigen Sie, dass es einen Endomorphismus f: Kn---> Kn mit U=Ker(f)

Question

Aufgabe:

Sei $K$ ein Körper und $U \subset K^{n}$ ein Untervektorraum. Zeigen Sie, dass es einen Endomorphismus $f: K^{n} \rightarrow K^{n}$ mit $U=\operatorname{Ker}(f)$ gibt.

Answer 1

Es ist V = Kⁿ . Wenn U = {0} ist, ist nichts zu zeigen, denn z.B. id_V : x → x ist ein Endo. mit Kern = U.
Anderenfalls besitzt U eine Basis u₁,...u_k , die sich zu einer Basis u₁,...u_nvon ganz V ergänzen lässt.
Und jedes v aus V besitzt eine Darstellung a₁*u₁ + ... a_k*u_k + .... a_n*u_n = v
Dann ist f : V → V ;  f(v) = 0 + a_k+1*u_k+1 + .... a_n*u_n
( wie sich leicht zeigen lässt) ein Endomorphismus von V, der offenbar den Kern U hat.