Berechnen Sie alle komplexen Zahlen z, für die gilt: Bsp. (z-3i)^6 + 64 = 0

Question

Wie kann ich alle komplexen Zahlen berechnen, für die gilt:

a) z³ = -1

b) z² - 2z + 2 = 0

c) (z-3i)⁶ + 64 = 0

Ich habe leider überhaupt keine Idee für einen Ansatz.

Comments

Du sollst hier alle sog. Wurzeln aus Zahlen in C bestimmen.

Da gibt's die Methode

drauf los zu Rechnen: Bsp. https://www.mathelounge.de/171874/komplexe-zahlen-potenzen-wurzeln-z-2-5-9i

Mit Polarkoordinaten zu arbeiten,

Die Formel zur Auflösung von quadr. Glgen zu benutzen,

zu faktorisieren. usw.

Du solltest alle Methoden durchprobieren, damit du jeweils die schnellste sehen kannst.

Answer 1

b) z² - 2z + 2 = 0

Bsp. Mitternachtsformel benutzen

a= 1, b = -2, c = 2

x_1,2 = 1/2 ( 2 ± √(4 - 8))

= 1/2 (2 ± √(-4))

= 1/2 (2 ± 2i)

= 1 ± i

Kontrollen: 

1. Resultate in b) z² - 2z + 2 = 0 einsetzen.

2. Eine weitere Methode benutzen.

c ) (z-3i)⁶ + 64 = 0

(z-3i)^6 = -64 = -(2^6)

(z-3i)^6 = 2^6 * e^{iπ}

z₁ -3i = 2 * e^{iπ/6} = 2*(cos(30°) + i sin(30°))

z₁ = 2*cos(30°) + i(2sin(30°) + 3)

z₂ -3i = 2 * e^{iπ/6 + 2πi/6} = 2*(cos(90°) + i sin(90°))

z₂ = 2*cos(90°) + i(2sin(90°) + 3)

z₃ -3i = 2 * e^{iπ/6 + 4πi/6} = 2*(cos(150°) + i sin(150°))

z₃ = 2*cos(150°) + i(2sin(150°) + 3)

z₄ -3i = 2 * e^{iπ/6 + 6πi/6} = 2*(cos(210°) + i sin(210°))

z₄ = 2*cos(210°) + i(2sin(210°) + 3)

z₅ -3i = 2 * e^{iπ/6 + 8πi/6} = 2*(cos(270°) + i sin(270°))

z₅ = 2*cos(270°) + i(2sin(270°) + 3)

z₆ -3i = 2 * e^{iπ/6 + 10πi/6} = 2*(cos(330°) + i sin(330°))

z₆ = 2*cos(330°) + i(2sin(330°) + 3)

Selbstverständlich solltest du für alle benötigten Sinus- und Cosinuswerte noch einfache Wurzel- und Bruchterme angeben können. Benutze dazu den Pythagoras, wenn du diese Terme noch nicht alle auswendig kennst. Dann werden die sechs 6. Wurzeln aus -64 noch etwas einfacher.

a) Kannst du sehr schnell analog zu c) lösen.

Answer 2

a)

z^3 = -1

z^3 + 1 = 0

(z + 1)·(z^2 - z + 1)

Eine Lösung kann abgelesen werden die anderen erhält man über pq-Formel.