Komplexen Bruch potenzieren und in arithmetische Form bringen: ( (-a+bj )/( b+aj))^4

Question

ich habe den Bruch $$ { \left( \frac { -a+bj }{ b+aj }  \right)  }^{ 4 } $$

Wenn ich zuerst versuche den Bruch aufzulösen durch die komplex konjuierte Erweiterung des Nenners komme ich auf

$$ { \left( \frac { { a }^{ 2 }j-{ b }^{ 2 }j }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }  \right)  }^{ 4 } $$

Das jetzt zu potenzieren bzw. zu ausmultiplizieren wäre sehr kompliziert.

Also dachte ich vielleicht potenziere ich zuerst und löse dann die divison.. Aber selbst wenn ich nur das qaudrat vom Zähler nehme steht da schon $$ { \left( { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }-2abj \right)  }^{ 2 } $$

Wie löse ich das alsoamBesten?

Answer 1

(-a + b·i)/(b + a·i) 

= (-a + b·i)(b - a·i)/((b + a·i)(b + a·i))

= (a^2·i + b^2·i)/(b^2 + a^2)

= i

Comments

oh Gott..ich kann im Zähler a²+b² einfach ausklammern und dann wegkürzen..

Oh man ich mach so viele Flüchtigkeitsfehler.. das wird übel morgen^^

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Üben, üben, üben                    

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Du hattest ja bereits vergessen ein i * i in ein -1 zu verwandeln und hattest deswegen im Zähler a^2 - b^2.

Answer 2

Hi,
$$ \frac{-a+bj}{b+aj} = \frac{-ab +a^2j+b^2j+ab}{a^2+b^2} = j $$ Und \( j^4 = 1 \)

Answer 3

Du möchtest das kürzer machen? Das kannst du nur, wenn du ganz genau auf die Vorzeichen achtest.

( (-a+bj )/( b+aj))^4         |oben j ausklammern 

=( j (ja+b )/( b+aj))^4

= (j)^4

= 1.