Gleichungen aus Textaufgabe: Grundfläche eines Quaders ermitteln

Question

Bei einem Quader kann man Grundflächen und Seitenflächen unterscheiden.

Alle 4 Seitenflächen bilden zusammen die Mantelfläche des Quaders.

Die gesamte Oberfläche eines Quaders ist 270cm² groß.

Die Mantelfläche eines Quaders sei genauso groß wie jede der beiden Grundflächen.

Wie groß ist eine Grundfläche ?

Answer 1

Die Oberfläche eines Quader ist

O=2(a*b+a*c+b*c)

Der Mantelfläche ist:

M=2(a*b+b*c)                      

Bedingung der Aufgabe M=a*c       a*c ist die Grundfläche, gegeben O=270  ,einsetzen.

270=2(a*b+a*c+b*c)             |Klammern auflösen

 a*c=2(a*b+b*c)

 

     270=2a*b+2a*c+2*b*c

      a*c=2*a*b+2b*c                 | nun die zweit Gleichung von der erten abziehen

270-a*c=2*a*c                          |  nun a*c adieren

     270=3a*c                            < duch 3 dividieren

       90=a*c

 

Eine  Grundfläche ist 90cm² groß.

Answer 2

Hier sind 2 Rechnungen möglich, je nach dem ob mn mit den Kanten des Quaders oder direkt mit den verschiedenen Flächen rechnet. Ich mache hier beides parallel. Das ist natürlich nicht nötig. Nimm den weg, den du besser verstehst.

Sagen wir, die Kanten der Grund- und Deckfläche messen a und b; die Höhe des Quaders c. Einheit: cm.

Gesucht ist also das Produkt ab=x.

Die Gesamte Oberfläche misst 270 cm^2.  Berechenbar als 2ab + 2ac + 2bc oder 2x + M

Also lautet die erste Gleichung:

 2ab + 2ac + 2bc = 270   

oder

2x + M =270

Mantelfläche  (M = 2ac + 2bc) ist gleich gross wie eine der Deckflächen.

Also 2ac + 2bc = ab      oder  M = x

Man kann nun in der ersten Gleichung 2ac + 2bc durch ab oder M durch x ersetzen.

2ab + ab = 270                      oder 2x + x = 270

3ab = 270             |:3                oder 3x = 270

ab = 90                                         x=90

Die Grund und die Deckfläche messen also je 90 cm².